除环上左线性方程组的反问题.pdfVIP

维普资讯 总29卷 第2期 数 学 研 究 v01．29 No．2 1996年 6月 JournalofMathematicalStudy Jun．1996 除环上左线性方程组的反问题① 王 卿 文 oh京 昌潍师院数学系，潍坊 261043) 林 春 艳 oh东财数学院基础部，济南 250014) 一 摘 要 推广并改进了实数域上线性方程组的反问题及其一系列结果，解决了除环上左线性方 程组更具广泛性的一类反问题，给出丁此类反问题有(斜)自共轭解及 (半)正定自共轭解的充要条件 及其解集结构． 关键词 除环，线性方程组反问题，(斜)自共轭矩阵，(半)TI定矩阵 1 引言与记号 本文约定，F、K和 分别表示一个任意的除环、一个具有对合反 自同构的除环和一个实 四元数除环，P 、砰 和 (F)分别表示F上的全体 mxt矩阵、F上的全体秩为r的仃．x* 阵和F上的全体 阶可逆阵，ranu、A。分别表示矩阵 的秩和 的共轭转置阵，s ()、s ()分别表示K上的全体 t阶自共轭阵和全体 阶反 自共轭阵，SP。( )表示 上的全体半正 定 (正定)自共轭阵， 表示 阶单位阵，％()表示将矩阵的第 i列右乘以I加到第 J列，(表 示满足AA“= 的矩阵，一表示 )一． 文[1]提出了实数域上线性方程组反问题．[1～7]分另给出了其正定对称解和对称矩阵解 的某些解法及解集结构．本文推广了以上结果，解决了F上左线性方程组更具广泛性的反问 ] 题简称 ：给定6∈P，啦∈F “=1，…，m；1，I≤#)，满足rank1．．·I=1，I，求所有的 ∈P 使 4 U 一6(t—l，…，m)·我们证明了 一定可解，给出了求 的一般解的实用方法 ，分别导出了 当一 耐在K上有(斜)自共轭解及在 上有(半)正定 自共轭解的充要条件及其解集结构． r．．． 本文恒令 B= 解 等价于解下面的矩阵方程 ． 一 翻儿一韶 其中AEPm未知． 2 左线性方程反问题的通解 ① 本文于1995—03—13收到，山东省自然科学基金资助课题 维普资讯 数学研究 1995正 定理 1 ／P一定有解． 证明由一。{一m得ran翻=一从而易知r_d列=m—m翻LdJ．故一矩…阵方。 程 (1)有解，从而 有解． 定义 1 矩阵方程 j = 0 (2) 称为 ^。盖 = 。的导出方程． 定义 2 设 A∈ ，{ ，…，且一，)为 似 一0的解 向量右空间的一个基，则 Ⅳ= [ ，…， ]称为(2)的一个基础解阵． 定理 2 考虑矩 阵方程 (1)．令 ： 0j 则C总可经过一些初等变换 (后 s列仅施行T ()且 ，；初等行变换仅对前m行蘸行)化为 如下形式 G 一 。 。]