北语12春季《微积分下》导学资料一(第5章).docVIP

不定积分 学习基本要求前面几章我们已经研究过由已知函数求其导数或微分等问题。但是，在科学技术和经济管理的许多实际问题中，常常需要研究相反的问题，就是由已知函数的导数去求原来的函数，也就是要研究微分运算的逆运算问题，本章将要研究这个问题，并由此引出不定积分的概念，进而介绍不定积分的基本性质和基本积分方法。 本章基本内容和基本要求：1．正确理解不定积分的概念与性质；2．熟练运用基本积分公式和运算法则，特别是不定积分的换元法和分部积分法来计算函数的不定积分。 ，则称为的原函数。 连续函数一定有原函数； 若为的原函数，则也为的原函数； 事实上， 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由，得 故表示了的全体原函数，其中为的一个原函数。 定义2：的全体原函数称为的不定积分，记为。 其中：积分号 被积函数 积分变量 显然， 求下列函数的不定积分 ① ② 基本积分表 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 ? 不定积分的性质 ① ② 求下列不定积分 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ （二）不定积分的换元法 第一类换元法（凑微分法） 1、 例1、求不定积分 ① ② ③ ④ 2、 例2、求不定积分 ① ② ③ ④ 3、常用凑微分法 求不定积分 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 例4、求不定积分 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 第二类换元法 1、三角代换 例1、 解：令，则 原式= 例2、 解：令 原式= 例3、 解：令，则 原式= 例4、 解：令，则 原式= 例5、 解：令，则 原式= 例6、 解：令，则 原式= 小结：中含有可考虑用代换 2、无理代换 例7、 解：令 原式= 例8、 解：令 原式= 例9、 解：令 原式= 例10、 解：令 原式 倒代换 例11、 解：令 原式 （三）分部积分法 分部积分公式： （前后相乘）（前后交换） 例1、 例2、 例3、 或解：令 原式 例4、 或解：令 原式 例5、 故 例6、 例7、 §（四）两种典型积分 一、有理函数的积分 有理函数可用待定系数法化为部分分式，然后积分。 例1、将化为部分分式，并计算 解： 故 或解： 例2、 例3、 例4、 二、三角函数有理式的积分 对三角函数有理式积分，令， ，故，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。 例5、 解：令， 原式 例6、 解：令， 原式 例7、 北京语言大学网络教育学院 2011-2012学年 第二学期 上北语网院 进世界学堂 Page 1 of 1