2011邓泽华线代.pdfVIP

第二篇 线性代数 第二篇 线性代数 第第二二篇篇 线线性性代代数数 第一讲 行列式 第一讲 行列式 第第一一讲讲 行行列列式式 考纲要求 1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 一、行列式的计算 问题1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？ 答 方阵的性质. 行列式在线性代数中有广泛应用，从下面的定理可见一斑. 定理1 设A为n阶方阵，则下列命题等价： ⑴ A  0 （ A非奇异）； ⑵A可逆； ⑶存在方阵 ，使得 ； B AB≪E ⑷ （ 满秩）； r(A) ≪n A ⑸A的特征值全不为零； ⑹A的行（列）向量组线性无关； ⑺Ax≪0 只有零解； ⑻Ax≪b有惟一解； T ⑼A A为正定矩阵. 定理2 定理2 定定理理22 设 A为 阶方阵，则下列命题等价： n ⑴ A≪0 （A奇异）； ⑵A不可逆； ⑶r(A) ⊲n； ⑷ 是 的一个特征值； 0 A ⑸A的行（列）向量组线性相关； ⑹Ax≪0 有非零解； ⑺Ax≪b有无穷多解或者无解. 问题2 余子式、代数余子式 答 余子式、代数余子式的定义见教材，由定义知，代数余子式A与第i行、第 ij 列的元素的取值无关. 1 0 1 2   1 1 0 3 设D≪ ，求A   A   A   A ；M   M   M   M .【 1；  41 42 43 44 41 42 43 44 1 1 1 0   1 2 5 4 问题3 行列式的性质 答 行列式的性质有 ⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来； ⑷两行成比例，行列式为零； ⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和； ⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变. ▲行列式对行成立的性质，对列也成立. 问题4 行列式按一行（列）展开公式 问题4 行列式按一行（列）展开公式 问问题题44 行行列列式式按按一一行行（（列列））展展开开公公式式 答 答 答答 A≪a A   a A  ⋯  a A （按第i行展开） i1 i1 i2 i2 in in A≪a A   a A  ⋯ a A （按第 j列展开） 1 j 1 j 2 j 2 j nj nj ▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 a A   a A  ⋯ a A ≪0 (i   j) i1 j1 i2 j2 in jn 问题5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有 ⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷数学归纳法； ⑸公式法. ▲常用公式有： 公式1 上（下）三角形行列式 a * * * a 1 1 a * * * a 2 2 ≪ ≪aa ⋯a . ⋱ * * * ⋱ 1 2 n