特殊曲面上测地线的几何特征.pdfVIP

第28卷第4期 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版) Vol。28 No。4 2007年1 2月 Journal of Huaibei Coal Industry Teachers College(Natural Science) Dec．2007 特殊曲面上测地线的几何特征 黄保军 (淮北煤炭师范学院数学系，安徽 淮北 235000) 摘 要：文章具体刻画了柱面、锥面、旋转曲面上测地线的几何特征，所得结果一方面匡正了某些文献关于锥面上测 地线的错误断言，一方面推广了现有文献关于旋转曲面上测地线几何性质的描述． 关键词：测地线；等距对应；几何特征 中图分类号：0 186．1 文献标识码：A 文章编号：1672—7177(2007)04—0006—04 1 引言 曲面上的测地线是平面上直线的推广，是Riemann流形上测地线的特例．在理论方面，测地线不仅本 身有很多有趣的性质，而且还可以用来作为工具研究曲面，尤其是它的等距不变性，在研究曲面内蕴性质 时，扮演重要角色n ；在应用方面，测地线还有重要的物理意义：例如，曲面上一不受外力作用的质点的自由 运动轨迹，光滑曲面上一无重量的弹性细线，受曲面上两点间某张力作用处于平衡状态时的形状，均呈测地 线【2】．可见，探讨曲面上测地线的形状，弄清曲面上测地线的分布，是件有意义的事情．但对一般曲面上的 测地线，我们仅能从理论上求出其上点的曲纹坐标的(微分)方程，并由此推知，局部地过曲面上每一点，沿 每一方向有唯一测地线存在，而对这些测地线的几何性质，以及曲面上这众多测地线的分布，却知之甚少． 本文的主要目的是：首先给出柱面、锥面、旋转曲面上测地线的几何特征，然后利用测地线的等距不变性，去 分析螺面上测地线分布的大致情况．其中我们关于锥面上测地线的结论，纠正了[3]中有关类似问题的欠 准确断言；关于旋转曲面上测地线的结果，丰富了现有微分几何文献对该问题的描述． 2 主要结果及其证明 关于柱面上的测地线，我们有如下结果： 定理1 柱面上的测地线是且只能是螺线． 事实上，在柱面∑：，=p(u)+vro(这里u是曲线，=p(u)的自然参数， 是常单位矢)与平面订(xoy 面)的等距对应u= ，秽：Y下，∑上曲线c为测地线当且仅当其对应曲线云为订上的直线，当且仅当云与订 上平行于Y轴的直线族交于定角，当且仅当c与柱面的直母线族交于定角，当且仅当c为螺线． 关于锥面上的测地线，我们有如下结果： 定理2 锥面上的平面测地线是且只能是其直母线． 证明 假若锥面∑：，：po+ (u)(这里u是曲线，= (u)的自然参数，且I (u)I：1，po是常矢量) 上有非直线的平面测地线c，则c必是∑上的曲率线，从而c是∑的直母线族的正交轨线．但在∑与平面订 ((P， )极坐标面)的等距对应秽=P，u=0下，c的对应曲线 应为平面订上的直线，同时为平面上过极点的 射线族的正交轨线，这不可能． 定理 3锥面上的挠曲线c是测地线当且仅当锥面顶点到c上每点处的密切平面的距离等于常数． 证明 设锥面∑的顶点在坐标原点． “ ”因为挠曲线c是锥面∑上的测地线，所以对V P∈c，c在P点的从切平面重合于∑在P点的切平 收稿日期：2007—06—25 作者简介：黄保军(1957一 )，男，安徽砀山人，教授，主要从事几何与拓扑学教学与研究工作 第4期 黄保军：特殊曲面上测地线的几何特征 7 面，从而直母线 0P在从切平面上(如图1)．顶点 0到c在 P点处密切平面的距离d=±，· (这里 ，= — — — ． OP, 是 c在 P的副法矢)．因 (，· )= · 一 · =4- · ：0， 所以 d=const。 图1锥面∑在P点的切平面 图2 旋转曲面∑：，：( t)cosq~， t)sinq~，g(t)} “ 乍”若锥面顶点0到挠曲线c上各点处的密切平面等距，选取c的副法矢