分段函数的极值.pdfVIP

第23卷第6期 大 学 数 学 Vo1．23，№．6 2007年 12月 C()LLEGE MATHEMATICS Dec．2007 分段函数的极值 王利珍 (山东丁商学院数学与信息科学学院．山东烟台 264005) [摘 要]首先对一例现行教材中的题解提出了疑问．给 了判别分段函数是否在分段点处有极值的方 法，并通过一些有代表性的例子加以说明． [关键词]分段函数；极值；极限 [中图分类号]0172．1 [文献标识码]c [文章编号]1 672—1454(2007)06—0186 03 1 问题的提出 在现行高等数学教材： ：中，有一道关于分段函数求极值的题目，并在配套的习题全解指南口 中给出 了详细解答，详见例 1． 例l ( ’ (训 极值． 解 -厂( )在x=O处不连续，从而也不可导．令，， ( )一0得驻点 一÷(详细步骤参见[2])．当 一 。。 o时，_， ( )o；当o e 时，f ( )o；当÷ +。。时，f ( )o．故点 一0为-厂( ) 的极大值点，且极大值为-厂(o)一2；点 一 为_厂( )的极小值点，fl,~／J、值为-厂({)一e ． 不难看出，在上面的解题中，判断分段点 一0为极大值点所用的方法有失妥当．若将题目改为 厂 ㈩ = x 2~+3’ ， 用上面方法求解时，仍会得出 一0为极大值点，而实际上f ( )在 一0处无极值．错误的原因在于 -厂( )及f ( )在分段点x=O处不连续，故不能通过考察x=O两侧的导数符号判断是否为极值点． 我们知道分段函数在分段点处的情形非常复杂，例如分段点是间断点，在分段点处连续但不可导， 或分段点是驻点等．要判断函数是否在分段点处有极值时，若采用常规的方法去判别的话，计算量非常 大且烦琐，到目前为止，还没有专门判断分段点是否为极值点的方法，本文就针对这一问题加以讨论． 2 主要结果 下面我们将在分段函数在分段点处有定义且在该点的左、右极限都存在的条件下，给出判断分段点 是否为极值点的简便方法．为讨论方便起见，不妨设函数-厂( )只有一个分段点，记作 。． 情形I：若，( )在分段点 。处连续，且在 。的左邻域及右邻域内分别可导，则可根据第一判别 法 判断． 情形Ⅱ：若-厂( )在分段点 。处不连续，我们有 [收稿日期]2006—02—28 第6期 王利珍：分段函数的极值 187 定理1 若-， ( ))一-，’( )≠-，( 。)，则 (i)当-，’(Xo)一-，’( )-， ( 。)时，，( )在 。处有极小值； (ii)当厂( f1)一厂( )厂( 。)时，厂( )在oT。处有极大值． 证 (i)因为-，( 【))一Jim厂( )，( 。)，由函数极限的局部保号性知， 0，对V．rE( 。--3 ， 。)， i— l 、 都有厂( )，( )． 同理，由厂( )厂( 。)知， ：0，对V E( … + )，都有f(x)，( 。)． 取 —rain{ ， }，则对于V E ( 。， )，都有 厂( )-，’( 。)，故厂( )在 。取处得极小值． (ii)类似(i)的证明即可得结论，证毕． 定理2 若f(xo)~-f(xo+)，且 f 5。( )， 。， f(x)一 A， = n， I ( )， 、 ， 则 (i)当厂( 【1)A且f(