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Ch3 混沌动态优化算法 E.N.洛伦兹在其著名论文《确定性的非周期流》(Determinsistic Non-periodic Flow, J.Atoms. Sci, 20,130-141)中提出：在三阶非线性自治系统中，可能会出现混乱解。是在研究大气在温度梯度作用下的自然对流系统，是天气预报的简化模型，即洛伦兹方程。 左端是时间的导数，右端不显含时间，是一个完全确定的三阶常系数微分方程。参数(是普兰德尔(Pranatl数)，((瑞利数与其临界值之比)，b为正实数。b=8/3，(=10，若(1其解的性质趋于无对流时的稳态，若(1其解为非周期的，看起来混沌的。对应是耗散系统。 1972年12月29日，洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ 2000年，《自然》发表了“The Lorenz Attractor Exists”，首次大数学上严格证明了吸引子的存在。 1971年 法国数学物理学家 D. Ruellc和荷兰学者F. Takens发表了《论湍流的本质》，用混沌来描述湍流形成机理，还找到一种新型的吸引子。 1976年，美国数学生态学家May R在美国《Nature》杂志上发表了题为《具有复杂动力学过程的简单数学模型》综述文章，以单峰映射为对象，讨论了xn+1=axn(1-xn)，绘制了分叉轮廓图、周期窗口、树枝分叉、切分叉、基本动力学单元、不动点谐波。 1978年，Feigenbuam发现了倍周期分岔过程中，每次缩小的倍数为常数4.6692……，即Feigenbuam常数，提出了变尺度研究方法。 1980年，法国数学Mandelbrot绘出了第一张混沌图像。 1986年，中国第一届混沌会议在桂林召开。徐京华提出三种神经细胞的复合网络，并证明它存在混沌，得到与脑电图相似的图形。 “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无则的、类随机的运动。Y表示上升流与下降流的温度差；z表示垂直温度分布与线性温度廓线的偏差，即垂直温度分布的非线性度；方程中xz与xy是一个非线性项，正是由于它，可能造成了混沌现象。 (=(/k表示流体分子的粘性系统(与热传导系数k的比，称为Prantl(普朗特)数，b为几何因子，没有相应的物理意义。 (为方程的控制参数，当r=1时发生对流。 固定(=10，b=8/3时，让r的值发生变化，可以发现： 当0(1时，只有一个平稳点(0,0,0)，且是稳定的，不产生对流。 当(=1时，产生对流 当(1时，有3个平稳点，但(0,0,0)不稳定。 当1(13.926时，不稳定流最终是螺旋地趋于平衡点两侧。 当(=13.926时，不稳定流则好无限趋于原点。 当(13.96时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的平衡点P+或P-附近。 当24.06(24.74时，P+与P-是稳定的，不稳定流形可能没有以上特征了。 当24.74(时，P+与P-是不稳定了，已进入混沌区域了。 利用matlab求解洛伦兹方程，可得到它的关于变量x,y,z的时间序列在三个不同平面上的投影，如下图所示。 是方程在(=10，b=8/3，(=28时，三个变元x(t),y(t),z(t)的随时间的变化情形 是方程在(=10，b=8/3，(=28时，三个变元x(t),y(t),z(t)在各平面的投影。 从上图可知，振荡曲线与完全随机的噪声不一样，有一定规律，但不会重复以前某个时刻，正是这个特点，可用来遍历整个解空间。 这些轨迹被限制在相平面(空间)的有限区域内，这样的有限区域称为动力系统的吸引子(attractor)。 对于周期运动，吸引子是一简单的封闭曲线。 对于洛伦兹系统具有随机性的非周期性运动，没有复杂的闭合曲线，是一些反复折叠和相互交叉而形成的密集带。 这种具有复杂结构的吸引子，称为奇怪吸引子(strange attractor)。 具有奇怪吸引子的运动就是混沌运动。 耗散结构 当系统远离平衡态的非线性的开放系统(不管是物理的、化学的、生物的、社会的、经济的)，通过不断与地与外界交换物质与能量，在系统内部某个参数(卡恩基数)量的变化达到一定的阈值时，通过涨落，系统可能发生突变即非平衡相变，由原来的混沌无序状态转变为一种在时间上、空间上或功能的有序状态。 这难道不是毛泽东的大乱得到大治的革命理论的科学依据吗？ 这种在远离平衡的非线性区形成的新的稳定的宏观有序结构，由于需要不断与外界交换物质或能量才能维持，称为“耗散结构(dissipative structure)”。 在我国的某些区域，要“维