新最短路径问题汇编.ppt

● ● A B M N ● B′ ● ● ● P 问题：如何使这条路径最短呢？ ● Q 在AM+MN+NB中，MN的长度保持不变， 只要AM+NB最短即可 能把AM与NB连在一起吗？ a b ● A ● ● ● M N ● B B′ ● ● P Q =AM+MN+MB′ =AP+PB′+MN AM+MN+NB =AB′ + MN =AP+PQ+PB′ AP+PQ+QB ∵ AP+PB′＞ AB′ ∴ AP+PQ+QB ＞ AM+MN+NB a b ● ● A B ● A′ ● M N ● 方法2 a b （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 　　追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ B · · A l 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？ 联想： 两点之间，线段最短. l A B C A B l B/ P 点P的位置即为所求. M 作法：① 作点B关于直线l的对称点B/. ② 连接AB/,交直线l于点P. (Ⅱ) 两点在一条直线同侧 已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小. 为什么这样做就能得到最短距离呢？ MA + MB′PA+PB ′ 即MA + MB′PA+PB 三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 练习1 A C 作法：① 作点A关于街道的对称点A. ② 连接AB,交街道于点C. 点C的位置即为所求. 勇攀高峰 　　练习2　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． A B C P Q 山 河岸 大桥 　　基本思路： 　　由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 一点R，使PR与QR 的和最 小”． A B C P Q 山 河岸 大桥 另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′. 在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN. 证明： a B A b M N A N′ M′ 八年级 上册 最短路径问题 浦口区汤泉中学 张思绘 看图思考：为什么有这种现象发生？ 问题2：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 P 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。 根据：两点之间线段最短. 　　　 　　从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 探究一 A B l l A B C C 转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？ 分析： A B l 转化为数学问题 （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？ 分析： l A B C l A B C l A B C B′ 作法（1）作点B关于直线 l 的对称点B′ . （2）连接AB′,线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求. 在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ l A B C B′ C′ 证明： ∴A B′ AC′+B′C′， 即AC+BC最小． 三角形任意两边之和大于第三边 归纳 l A B C l A B C B′ l A B C 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 A B l 探究二 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？ 分析： a B A b M N 假设在M点建桥