数学建模2草坪积水问题汇编.pptVIP

微分方程模型 草坪积水问题 露天足球场极易受雨天的干扰。每逢下雨只能停赛直至草坪的表层充分干，即或雨水渗透到了底层，或雨停后雨水蒸发到空气中。有仪器可以加快其干燥过程，但为了避免损坏草坪，常常让其自然干燥。是否可以建立一个数学模型描述这一干燥过程？ 这个问题也可以叙述为：下了一场雨后，是否可以预测比赛何时能恢复？设草坪开始时是干的，突然开始下雨，并以同样的大小持续了半小时。假设在半小时中积累了1.8厘米高的水。 通过分析将与此问题有关的因素列表如下： 因素 变量类别 符号 单位 降雨速度 变量 米/秒 时间 变量 秒 草坪面积 参量 米2 草坪厚度 参量 米 目前在草坪中的雨量 变量 米 蒸发率 变量 米/秒 渗透 变量 米/秒 比例常数 每秒 停雨时间 参量 秒 注：这里Q是用米来度量的，乘以草坪的面积后实际上是水的体积.同样，e和s是用米/秒来度量的，用A来乘成了用立方米来度量的每秒钟内的体积流率。 为了建立这个模型，采用下面的原理： {在草坪中雨水的增加率}={流入率}-{流出率} 由于开始时草坪是干的，即初始条件 。由上述原理，必须知道流入、流出和草坪的容量。显然，流入率等于降雨率与所考虑的草坪的面积的成绩，即流入率= 。 为了确定流出率，则必须确定水是如何流出的。流出的水将排入底下和蒸发到空气中。但在降雨的过程中，蒸发几乎是不可能的，于是仅需考虑渗透。假设这与草坪中的含水量成正比，即s(t)=aQ(t)。 当停止下雨，水除了渗透外还有蒸发。蒸发率依赖于空气的温度和湿度。蒸发的水来自于湿草坪的表面，为了建模的方便，假设蒸发率与草坪中的水量成正比，即 。 于是，可得到关于的微分方程： 为了使模型能给出有关草坪进水的足够信息，就要对它进行积分，如果给出r(t),a,b的数据就可得到Q(t).前面已经说过降雨率在半小时的时间周期里为常数，即 对于参数a和b的值，可以有两种方法来得到：一是通过深入的理论探讨，从科学的角度找到它们的值；另一种是把它们作为待定的参数，得到数学解，然后通过参数辨别得到a和b的值。 在此，为了避免这些麻烦就直接给出它们的值a=0.01每秒，b=0.0005每秒。 如果取草坪的面积为1平方米，从方程 积分（1），得 当 时 。 解（2），得 其中 是一个积分常数，它可以从 代入上式得 。因此 上述方程预测了雨停后草坪中水是如何减少的量。问题是确定比赛何时才能恢复，即草坪何时才能干燥，也就是说 。 然而，上述方程是一个负指数函数，按照这个模型 实际上不会为零。假设当水量降至其高峰值的10%时就认为草坪时足够干的了。要等多长时间，只要在上述方程中令 并取对数，于是有 这样，雨停以后还要等1534秒才能恢复比赛。