最速降线方程的推导.pdfVIP

寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时 静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。 A 、B、C同时静止释放，同时 下滑到最低点O。 θ 分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动， 即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O。 这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是 沿着轨道表面。 设曲线方程为y=f(x) ，且最低点位于y 轴上。 那么当质量为m的物体运动到曲线上的点（x 时， f(x) ， ) 所受下滑力 F = -mg·sinβ β是（x f(x) 其中 ， )处的切线的倾角。 由于 所以 ① x f(x) 下滑到最低点（0，f(0))所要走过的路程 物体从点（ ， ) ② 这里的路程相当于简谐运动的位移。简谐运动的回复力F与位移S之间满足 (k 0) F = -kS 将①、②代入上式得 z [0,1) ，上式化为 设 （∈ ），则 等号两边对x求导得 即 等号两边积分得 ③ 由于当x=0 时，回复力 z=0 所以当x=0 时， 。将x = 0，z = 0代入③得 ， C = 0 所以 为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z = sin α，α∈（0，π/2），得到 令 =2α，代入上式得 θ ④ x ⎧ =x( ) θ 若能求出y 与 上式为x与θ的关系， 的关系y=y(θ),便能得到曲线的参数方程⎨ θ y =y( )