3.5随机变量函数的分布.ppt

多维随机变量函数的分布 例题1 （上例续） 例题4 例6 例题5 例9 例8 例7 例题10 例题分析13 例10 y x －1 0 1 1 2 0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19 求：z=xy的分布列 Z的取值 -1 0 1 -2 0 2 于是 ，我们可以得到Z的分布律 z p -2 -1 0 1 2 0.09 0.07 0.50 0.15 0.19 例题3 在区间(0,1) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为? 解: 用x和y分别表示随机抽取的两个数，则x和y 均服从(0,1)上的均匀分布 且相互独立 （X，Y）的联合密度函数为 x y 续问：对于任意的z，求: 解： 求：Z=X+Y的密度函数 求z 的概率密度。 的分布函数为： 解： ①当Z0时， 设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度为: 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和概率密度. 解 FZ(z)=P{Z?z}= P{X+2Y?z} x y x+2y=z f(x,y)的非0区域 设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为 求随机变量Z概率密度函数， 基本步骤： 第二步 求z的分布函数 第三步 求密度函数 第一步 求联合密度 由于X，Y相互独立，因此Z的概率密度为： 因此，Z=2X+Y 分布函数为: 所以，Z的概率密度函数为 其中区域 ，则 的概率密度 1） 的分布 设 的概率密度为 ，则 的分布函数 二维随机变量函数的分布（公式法） 如果将上面的累次积分交换顺序，又可得 已知二维随机变量（X,Y）的联合 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 在 XOZ 平面上作出区域 概率密度为 x z (1,2) (0,1) z =2x z =1+x O 当z ≤0 或 z 2 时 fZ(z) ＝0 当0z ≤1时 当1z ≤2时 特别，当 与 相互独立时，有 设随机变量X, Y 相互独立,均服从区间(0，1) 上的均匀分布, 求: Z = X +Y 的 解 在XOZ平面上作出区域G 概率密度 fZ(z). x z 1 1 z = x z = 1+x （1,2） （1,1） 当0z ≤1时 当z ≤0 或 z 2 时 fZ(z) ＝0, 当1z ≤2时 概率密度曲线为 z fz(z) 1 1 2 称为 辛普生分布 o 解　由题意知 与 的概率密度为 因此 的概率密度 的概率密度 设 和 相互独立， 且都服从正态分布 ，求 也服从正态分布，其均值和方差都是原来的二倍。 故 ,即 则 其中 为常数。 以上结果可推广到一般情况：若 相互独立，且 Y X 0 1 0 1 2 求 M=Max(X,Y) N=Min(X,Y) 的分布律 P(M=1)=1/20+2/20+3/20=6/20 M p 0 1 2 N p 0 1 例题11 M=Max(X,Y) X,Y 相互独立 求F M(z) 解: 例题12 N=Min(X,Y) X,Y 相互独立 求F N(z) 解: 设X,Y 服从区域 的均匀分布, Z =Max(X ,Y) 求 P(Z1/2)=?