3.5二维随机变量的函数的分布.ppt

3.5二维随机变量的函数的分布 由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布 一、(X,Y)为二维离散型随机变量 二、(X,Y)为二维连续型随机变量 1.一般函数的分布 4. Z=max{X,Y}或Z=min{X,Y}的分布 (1) Z=max{X,Y}的分布函数: (2) Z=min{X,Y}的分布函数: 小结 * * 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布? 若X和Y相互独立,则有 例1 设(X,Y)的分布律为: 1/12 2/12 2/12 1/12 1/12 0 2/12 1/12 2/12 ?2 ?1 0 ?1 1 2 X Y 试求Z=X+Y的分布律 解: 由已知,可得: 0 1 ?1 1 2 Z 1/12 0 2/12 1/12 2/12 P (?1,1) (?1,2) (0, ?1) (0, 1) (0,2) (X,Y) ?3 ?1 0 ?2 Z 1/12 2/12 2/12 1/12 P (?2, ?1) (?2,1) (?2,2) (?1, ?1) (X,Y) ∴Z=X+Y的分布律为: 1/12 1/12 4/12 3/12 1/12 2/12 P ?3 ?2 ?1 0 1 2 Z 即Z的分布函数是(X,Y)落入区域 D: g(x,y)≤z的概率 FZ(z)=P{Z≤z} =P{g(X,Y)≤z} fZ(z)=F?Z(z) 设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 2. Z=X+Y型分布 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度 例2 设X和Y是相互独立的随机变量,且 都服从标准正态分布N(0,1). 试求:Z=X+Y的概率密度 解: FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z} x y x+y=z 令y=t?x 则 令 则 可见，Z～N(0, 2)分布 一般, X与Y相互独立,且 X～N(?1,?12), Y～N(?2,?22) 则Z=X+Y仍然服从正态分布,且 Z～N(?1+?2,?12+?22), 还可推广: 有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布 例3 设X与Y相互独立,它们的概率密度 分别为: 试求: Z=X+Y的概率密度 解: 当z0时, 当0≤z1时, x y 0 z 1 FZ(z)=0 ?fZ(z)=0 =z?1+e?z ?fZ(z)=FZ?(z)=1?e?z 当z≥1时, 0 1 z x y 综合,得: =1+e?z ?e1?z ?fZ(z)=FZ?(z)=(e?1)e?z 设X和Y的联合密度为 f (x,y), 求Z=X/Y的密度. 解: Z=X/Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X/Y ≤ z) 这里积分区域D={(x, y): x/y ≤z} 为阴影部分的面积. x y X/Y=z 3. Z=X/Y型分布 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,