2-4方向导数与梯度.pptVIP

第四节　方向导数与梯度　 　一、问题的提出 　二、方向导数 三、梯度 一、问题的提出 二、方向导数 三、梯度 小结 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 等高线的画法 * * * 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） P 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 　　　由此可见，当Ｌ的方向与　的方向一致时，　　 　　　　　，方向导数取最大值 　　　当Ｌ的方向与　的方向垂直时，　　 方向导数取零． 注： 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 等高线的画法 播放 例如, 梯度与等高线的关系： 例４ 解 （２）方向导数取得最大值的方向是梯度方向，即 方向导数的最大值为： （３）ｕ沿梯度的负方向，即　　　　的方向减少 得最快．　　　　 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量）