高教版数学教案——二项式定理.docVIP

二项式定理 一、: 掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识要点: 1.二项式定理:一般地,有下面的公式: 这个公式所表示的规律叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中(m=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,式中的叫做二项式的通项,用表示,即=. 2.二项式系数的性质: (1)除每行两端的1以外,每个数字都等于它肩上两个数之和,即; (2)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即; (3)如果二项式的幂指数是偶数2n,那么二项展开式有(2n+1)个奇数项,且中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数2n-1,那么二项展开式有2n个偶数项,且中间两项的二项式系数相等并且最大. 三、典型例题: 例1: (1)如果(x+)2n展开式中,第四项与第六项的系数相等.求n,并求展开式中的常数项; (2)求(-)8展开式中的所有的有理项. 解 (1)由C2n3=C2n5,可得3+5=2n∴ n=4. 设第k+1项为常数项则 Tk+1=C8k·x8-k·x-k=C8k·x8-2k ∴8-2k=0,即k=4∴常数项为T5=C84=70. (2)设第k+1项有理项,则 因为0≤k≤8,要使∈Z,只有使k分别取0,4,8所以所求的有理项应为: T1=x4,T5=x,T9=x-2注 (1)二项式展开中,要注意“系数”与“二项式系数”的区别; (2)在二项展开式中求得k后,对应的项应该是k+1项. 例2:已知(1-ax)n展开式的第p,p+1,p+2三项的二项式系数构成等差数列,第n+1-p与第n+2-p项的系数之和为0,而(1-ax)n+1展开式的第p+1与p+2项的二项式系数之比为1∶2. (1)求(1-ax)n+1展开式的中间项; (2)求(1-ax)n的展开式中系数最大的项. 解 由题设得: 由①得,2Cnp=Cnp+Cnp两边约去Cnp,可得: 2=+由③得,2Cn+1p=Cn+1p约去Cn+1p可得,n=3p+1 解方程组得:n=7,p=2. 将p=2,n=7代入②得:C57(-a)5+C76·(-a)6=0解之得:a=0或3. 若a=0 ,则(1-0·x)8的中间项T5=0,(1-0·x)7展开式中系数最大的项是T1=1. 若a=3,则(1-3x)8的中间项T5=C84·(-3x)4=5670x4,(1-3x)7的展开式中,奇数项系数为正, 令 ≥1解之得:k≤6.故(1-3x)7展开式中系数最大的项为 T7=C76·(-3)6·x6=5103x6. 注 一般地,求(a+bx)n展开式中系数绝对值最大的项的方法是: 设第k+1项为系数绝对值最大的项,则由 求出k的取值范围,从而确定第几项最大. 四、归纳小结: 1.重要结论:; ; (n为偶数); (n为奇数); =. 2.二项式的应用 (1)求某些多项式系数的和. (2)证明一些简单的组合恒等式. (3)证明整除性.①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简单多项式的整除问题. (4)近似计算.当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值: ①(1+x)n≈1+nx ②(1+x)n≈1+nx+x2 (5)证明不等式. 五、基础知识训练: (一)选择题: 的展开式中,的系数是( ) A.35 B.70 C.140 D.280 (2001高职-10)已知等差数列中,,在的展开式中,二项式系数最大的项是( ) A.第10项 B.第11项 C.第10项和第11项 D.第10项和第12项 (2002高职-5)二项式的展开式中项的系数是( ) A.-240 B.240 C.-160 D.60 (2003高职-10)的二项展开式中的系数为( ) A.17 B.15 C.13 D.11 (2004高职-7)已知,那么等于( ) A.-27 B.-1 C.0 D.8 的展开式中,第五项是( ) A. B. C. D. 的展开式中,不含a的项是第( )项 A.7 B.8 C.9 D.6 的展开式中的整数项是( )