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數正方形 余國材 (一) 棋盤問題 在一個棋盤8 x 8方格內， 究竟有多少個大大小小的正方形？ (圖一) (二) 定義 看來不大容易數罷！不要緊，遇到困難的問題， 不妨將問題簡化，再看看有沒有規律，最後將規律 普遍化，歸納為一些公式或定理。 那末，讓我們將問題簡化為一研究 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3, … 的棋盤。為方便起見，我們定義： f(1) 為 1 x 1 棋盤正方形的數目、 f(2) 為 2 x 2 棋盤正方形的數目…，那末，f(n) 就是 n x n 棋盤正方形的數目了。 (三) 計算 參考圖二，不難數得: f(1) = 1 f(2) = 5 f(3) = 14 f(4) = 30 (四) 規律 f(1) = 1 (1個 1 x 1 正方形) f(2) = 1 + 4 (1個 2 x 2 正方形、4個 1 x 1 正方形) f(3) = 1 + 4 + 9 (1個 3 x 3 正方形、4個 2 x 2 正方形、9個 1 x 1 正方形) f(4) = 1 + 4 + 9 + 16 (1個 4 x 4 正方形、4個 3 x 3 正方形、9個 2 x 2 正方形、 16個 1 x 1 正方形) 再看清楚，就發現： f(1) = 1 f(2) = 12 + 22 f(3) = 12 + 22 + 32 f(4) = 12 + 22 + 32 + 42. (五) 推導與歸納 推導： 在一個棋盤8 x 8方格，就有 f(8) = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 204 個正方形。 歸納： 在一個棋盤n x n方格，就有 f(n) = 12 + 22 + 32 + …+ n2個正方形。 (公式一) (六) 再研究 (公式一) 不好算，原因是要找尋100 x 100 棋盤方格內的正方形數目，就要計算: f(100) = 12 + 22 + 32 + …+ 1002 ，不妙！ (七) 對角線 一個正方形有兩條對角線，如圖三 我們祇選用了右上至左下的對角線。 讓我們數一數在對角線上的正方形。 在 1 x 1 的棋盤，祇得1個正方形，也 祇有1條對角線，於是 f(1) = 1，易數。 在 2 x 2 的棋盤，有3條對角線，在第1條對角線上，有1個正方形；在第2條對角線上有3個正方形(2個 1 x 1、1個 2 x 2) ；在第3條對角線上有1個1 x 1的正方形。那末， f(2) = 1 + 3 + 1 在 3 x 3 的棋盤，有5條對角線，我們看到最長的對角線上，有3個 1 x 1正方形、2個 2 x 2正方形及1個 3 x 3正方形，則共有6個正方形。依次序寫出: f(3) = 1 + 3 + 6 + 3 + 1 在 4 x 4 的棋盤，有7條對角線，依次序寫出: f(4) = 1 + 3 + 6 + 10 + 6 + 3 + 1 用少許想像力，就有: (公式二) (九) 簡化 看來 (公式二) 比 (公式一) 還困難，有沒有方法簡化呢？ 觀察到: (k – 1)k(k + 1) – (k – 2)(k – 1)k = (k – 1)k [(k + 1) – (k – 2)] = 3(k – 1)k 所以， 。用這公式可簡化： (留意很多項已經被約去！) (公式三) 所以，100 x 100棋盤方格內的正方形數目就易算： (十) 角 一個正方形有四個角，我們選用了左上角 ，注意到不同的正方形，它們的左上角可能聚 集在一起，如圖四我們把這些有相同左上角的 正方形個數寫在左上角，再將所有數字加起來 ，就是棋盤的正方形數目。 如圖五，我們有15個1、13個2、11個3、…， 於是8 x 8 的棋盤有: f(8) = 15 x 1 + 13 x 2 + 11 x 3 + 9 x 4 + 7 x 5 + 5 x 6 + 3 x 7 + 1 x 8 個正方形。 用少許想像力，就有: (公式四) (十一) 總結 在一個棋盤n x n方格內，四方形的數目為: f(n) = 12 + 22 + 32 + …+ n2 (公式一) = (公式二) = (公式三) = (公式四) 你喜歡哪條公式？你可否用代數方法証明這些公式相等？你還有別的方法數四方形嗎？ (十二) 難題 (1) 一個 n x n 方格的棋盤內，有多少個長方形(包括正方形在內)？ (2) 一個 m x