假设衡量误差和不可观察的自变数无关.PPTVIP

9.4 衡量誤差之OLS 特性 有時在經濟應用中，我們無法收集真正影響經濟行為變數的資料。 當我們在迴歸模型中對某經濟變數使用了不精確的衡量，模型中就包含了衡量誤差。 在代理變數的情況，我們要找一個和不可觀察變數有關係的變數。 在衡量誤差的情況，我們觀察不到的變數是擁有定義良好的數量化的意義(諸如邊際稅率或年所得)，但我們的資料可能包含誤差。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第383-384頁 9.4 衡量誤差之OLS 特性 另一個代理變數和衡量誤差問題的重要差異在於，後者通常衡量錯誤的自變數是我們主要感興趣的變數。在代理變數的情況，遺漏變數的偏效果很少是我們主要感興趣的：我們通常對其他自變數的效果感興趣。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第384頁 應變數的衡量誤差 令y* 代表我們想解釋的變數。 且我們假設其滿足高斯馬可夫假設。令y 代表y* 之可觀察的衡量。 （p384：可預期 y和 y*有所不同） CH9 設定和資料問題之進一步探討 第384頁 9.23 應變數的衡量誤差 衡量誤差(在母體中) 是定義為觀察值和實際值的差異： 寫下y* ＝ y － e0 ，將其代入(9.23) 式，重新整理可得： CH9 設定和資料問題之進一步探討 第384-385頁 9.24 9.25 應變數的衡量誤差 當應變數是對數的形式，故log(y*) 為應變數，很自然地衡量誤差的形式為 這產生y 的相乘項的衡量誤差(multiplicative measurement error)： y = y*a0，其中a0 0 ，且e0 = log(a0) 。 若應變數的衡量誤差和一個或多個自變數有系統性的關係，則可能導致OLS 的偏誤。若衡量誤差只是與自變數無關的隨機呈報誤差，則OLS 是完全適用的。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第386-387頁 9.26 自變數的衡量誤差 從簡單迴歸模型開始（EX: x*為真實所得；x為呈報所得） 母體的衡量誤差為 且其可為正、負或零。我們假設母體中平均衡量誤差為0 : E(e1) = 0 。這是很自然的假設，且在任何情況也不會影響到之後的重要結論。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第387頁 9.27 9.28 自變數的衡量誤差 一個假設為e1和可觀察的衡量x1無關。 古典的誤差在變數中(classical errors-in-variables, CEV) 假設衡量誤差和不可觀察的自變數無關： CH9 設定和資料問題之進一步探討 第387-388頁 9.29 9.30 9.31 自變數的衡量誤差 若假設(9.31) 式成立，則x1和e1 必定相關： CH9 設定和資料問題之進一步探討 第388頁 9.32 自變數的衡量誤差 之機率極限為β1加x1以及u ? β1e1之共變異數對 x1變異數的比率： CH9 設定和資料問題之進一步探討 第388-389頁 9.33 自變數的衡量誤差 CEV 之OLS 的縮減偏誤(attenuation bias)：平均而言(或在大樣本中)，估計的OLS 之效果將被減小。 (p. 389) 相對於衡量誤差的變異數若 的變異數很大，則OLS 的不一致性將會很小。 這是因為 之值當 很大時會接近1。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第389頁 9.35 自變數的衡量誤差 在估計β1時仍會有縮減偏誤：我們可證明 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第390頁 9.36 遺漏資料 遺漏資料(missing data) 問題可以有各種產生的形式。 若應變數或某自變數有一觀察值的資料遺漏，則該觀察值在標準的複迴歸分析中就不能被使用。 若資料的遺漏是隨機性的，則影響只是樣本規模變小而已。雖然這讓估計式較不精確，它並不會產生任何偏誤。 （隨機抽樣假設MLR.2仍成立） 在大多數情況下，我們都是直接忽略有遺漏資訊的觀察值。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第392頁 非隨機樣本 當遺漏資料產生了母體中的非隨機樣本(nonrandom sample) 時，問題就比較大。 特定形式的非隨機抽樣並不會導致OLS 的偏誤或不一致性。 在高斯馬可夫假設下(但無MLR.2)，是可基於自變數來選擇樣本而不會導致任何統計上的問題。這稱為基於自變數的樣本選擇，且這也是外生樣本選擇(exogenous sample selection) 的一個例子。 CH9 設定和資料問題之進一步探討 第393頁 非隨機樣本 當選擇基於應變數y 時事情就完全不同了，這稱為基於應變