不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线、立体几何、排列组合概率、复数、算法汇编.doc

三、不等式 知识考点 : (1)不等式性质的运用; (2)解不等式; (3)不等式的证明及几个特殊不等式; ( 4)不等式与线性规划 一、不等式的基本性质为 1、；；． 2、不等式的性质： ①；（对称性）② ；（传递性） ③；（加法单调性） ④，；（乘法单调性） ⑤（同向不等式相加） （异向不等式相减） ⑥； ⑦． ⑧（同向不等式相乘）； （异向不等式相除） （倒数关系） （11）（乘方法则）,即 （12）（开方法则） （13）a0, |x|a-axa, |x|axa或x-a; （14）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （15）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab; (16）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式 1、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数；称为正数、的几何平均数． 2、均值不等式定理：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若，，则，即． 3、常用的基本不等式： （1）①； ②； ③； ④． （2）①(根据目标不等式左右运算结构选用) ； ②a、b、cR，（当且仅当时，取等号）； ③若，则（糖水的浓度问题）。 4、基本变形：若，则（当且仅当时取等号） ① ； ； ② ③若，则， ④ 注：（1）该不等式可推出:当a、b为正数时, （当且仅当a = b时取“=”号） 即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 （2）极值定理：设、都为正数，则有 ⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值． ⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值． 5、基本应用：①放缩，变形；②求函数最值： 注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当（常数），当且仅当 时， ； 当（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值 。 ②已知，则的最大值 。 ③，的最大值 。 ④若正数满足，则的最小值 。 6、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： (1) 如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么.（当且仅当a=b=c时取“=”号） (2)由可推出 (,); 推广：①若，则（当且仅当时取等号） 基本变形： ； ； ②若，则（当且仅当取等号） 7、几个重要不等式 （1） （2） （当且仅当时取等号）； （3）若则（）（当且仅当时取等号） ； ； （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号） （5） 最值定理：若则： 如果P是定值, 那么当时，S的值最小； 即：积定，和最小； 如果S是定值, 那么当时，P的值最大.即：和定，积最大。 注意： 前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； 均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 8、用均值不等式求最值的类型及方法 （1）几个重要的均值不等式 ①当且仅当a = b时，“=”号成立； ②当且仅当a = b时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：。 （2）函数图象及性质 1)函数图象： 2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：，；单调递减区间：，. 8、几个著名不等式 （1）平均不等式：如果都是正数，那么 （当且仅当时取等号） （2）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则 等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi,。即： 若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, …, n)。设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则等号成立当且仅当b1=b2=…=bn. （3）琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. （4）特殊平均值不等式： 设a1, a2,…,an∈R+，记Hn=, Gn=, An=，则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an. 9、常用的基本不等式 （1）设，则（当且仅当 时取等号） （2）（当且仅当