J-规范矩阵.pdfVIP

第28卷第6期 韩 山 师 范 学 院 学 报 V_01．28 No．6 2007年12月 Journal of Hanshan Normal University Dec．2007 J一规范矩阵术 张君敏，黄伟斌 (韩山师范学院数学与信息技术系，广东潮州 521041) 摘 要：给出了J一规范矩阵的定义，讨论了J一规范矩阵的一些基本性质和若干判定条件． 关键词：规范矩阵；J一规范矩阵；Hcrmite矩阵 中图分类号：O151．21 文献标识码：A 文章编号：lOO7-6883(2oo7)o6—0004—04 由于理论及应用上的背景，规范矩阵包括其子类的研究一直是矩阵论中的重要内容，不少学者对 规范矩阵的性质、判定条件等作了较为深入的探究[1--3]，文[4】则定义了一类J一规范矩阵．本文将探 讨一类在辛空间中有着广泛应用价值的规范矩阵，下面是对本文所用部分符号做的约定： 这里n为偶数． nXn表示全体n阶复矩阵之集，，表示n／2阶单位矩阵，|， (0-， )， “ 表示A的共轭转置． 定义1设A∈Cnxn，若 “|， =AJA“，则称A为J 规范矩阵． J～规范矩阵是一类不同于规范矩阵的矩阵类．如 一(51 )，由于 “ = (；言：19)， “=17 ) 有 “A≠AA“，gila A不是规范矩阵．但 AJA — f 0 7 AJAn 17 0 ／ 所以A是J一规范矩阵． 定理1 A∈Cn×n是J 规范矩阵的充要条件是：对于Vx，Y∈CnX ，有 “A“JAy= AJA“Y． 证明 因为A是J 规范矩阵，所以 “|， —AJA“．所以Vx，Y∈CnX 有 X“A“JAy—X“AJA“Y． 收稿日期：2007—06—07 韩山师范学院重点扶持科研课题(No．2005—04)． 作者简介：张君敏(1963一)，男，广东汕头人，韩山师范学院数学与信息技术系副教授． 4 反之，因为V ，Y∈C 有 “AH,lAy= “AJA“Y，特别地，取 = ，Y= ，这早ci， 都为71,维标准单位向量，则易得： “ 。 ， =AJA“． 所以 是J一规范矩阵．证毕． 定理2 A∈C ”，记H=言( +A“)，S=言( 一A”)，则 是J规范矩阵的充要条件 是：HJS=SJH． 证 日月 为 SJH： ( — “)jI(A+Aw)： ， “一 “ ， — “．， “)， l 一 q l 一 HJS： ( + )jI ，● ，● ， (A一 w)： 4 AJA“+A” ， 一A”．， ”)， 4 + ～ “ 一 A“。，A —A“JA—AJA“． 从而AJA“=A“ ，故 是J一规范矩阵． 反之，因为 是J～规范矩阵，有 “ 一AJAn，所以 AJA”一A” =-A ， “+ “ ． 故HJS—S