(续)第三章中值定理与导数的应用.pptVIP

第七节 曲 率 一、弧微分 在曲线上取基点 M0(x0,y0), 在曲线上的对应点为M, M’, ∵ s (x) 为单增函数， ∴ s ′(x) 0 , 几何意义： 当曲线方程为 y = f (x)， 当曲线 y = f (x) 是用参数方程 二、平面曲线的曲率概念 考察曲线的弯曲程度： 曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角 1. 与切线转角 ?? 成正比 2. 与曲线弧长 ?S 成反比 曲线弯曲得越厉害。 称为曲线在点 M 处的曲率。 考察直线的曲率。 曲率为 0 的曲线是直线。 三、曲率公式 曲线方程 y = f (x) 二阶可导， 拐点处的曲率为 0 。 四、曲率圆、曲率半径与曲率中心公式 例 题 讨 论 第八节 方程的近似解 作 业 例 (四)函数的弹性 (四) 函数的弹性（函数的相对变化率) 在边际分析中,讨论的函数变化率于函数的改变量均属于 绝对数范围内的讨论.在经济问题中，仅仅用绝对数的概念是 不足以深入分析问题的。如甲商品每单位价格5元，涨价1元， 乙商品每单位价格200元，也涨价1元。两种商品价格的绝对 改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度大呢？只需用绝对改 变量与原价格相比即可。易见甲涨价的百分比为20%，乙为 0.5%。所以我们有必要研究函数的相对改变量和相对变化率。 例 弹性的定义 注 例 (五)需求函数和供给函数 * 设 y = f (x) 在 (a, b) 内有连续导数， M(x, y) 为曲线上任一点， x y 0 M0 . x0 M . x 规定 弧 s = M0M 规定 依 x 增大的方向作为曲线的正向。 (即 M 在 M0 右，S 0) ∵s 随 x 的增大而增大, ∴ s = s(x) 是 x 的 单调增加函数。 a b y = f (x) 则△s = MM’ M0M’ M0M － = MM’ = MM’ MM’ MM’ MM’ ∵ x y 0 M0 . x0 M . x M’. y = f (x) ∴ = MM’ MM’ MM’ MM’ s = s (x) MM’ MM’ M’→M. —— 弧微分公式 MM’ MM’ = 1, x y 0 M0 . x0 M . x M’ y = f (x) P 弧微分 d s 表示了M点处切线段MP的长度。 当切线正向与曲线方向一致，且与 x 轴夹角为 α ，则有 当曲线用极坐标方程 y 有连续导数, 在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度 AB 相等的情况下， (1) 不弯 (2) 弯曲 (3) 弯得厉害 成正比。 A B (2) A B (3) A B (1) M1 M2 M3 ?? ??’ 对同一条曲线 A B B′ ?S’ ?S ?? A′ AB 越小 称为 AB 的平均曲率。 = k 1. 与切线转角 ?? 成正比 2. 与曲线弧长 ?S 成反比 = k 例： 1.考察半径为 R 的圆上各点处的曲率。 圆上取两点 A ，B ， o R A B AB k 即圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数。 半径越大，弯曲越小。 反之亦然。 2. k = 0， ∴ k = 0. (1) 设曲线方程 y = f (x) 二阶可导， 由定义， (1) (2) 曲线方程由参数方程 在实际问题中， 给出， (3) 曲线方程由极坐标方程 设 y = f (x) 在点 M (x, y) 处的曲率为 k , 在 M 点处凹的一侧的法线上取一点 D， x y 0 . M . D 以 D 为中心，ρ 为半径作圆， 则此圆称为曲线在点M处的曲率圆。D称为曲率中心。 就称为曲率半径。 曲率圆与曲线在M点处不仅有相同的切线与曲率，还有相同的凹向。 ∴在M点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。 例1： 并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少？ 解： 则分母为最小时 k 最大。 处曲率最大。 例2： 的曲率及在 时的曲率半径。 解： 一、 二分法 二、 切线法 （ 自学 ） P222页：3-7(A) 1, 4 P222页：3-7(B) 3 导数在经济中的应用 (一)函数的变化率:边际函数 (二)边际成本 例 (三)边际收益 例 最大利润原则 *