11线代期末杭州电子科技大学信息工程学院学生线性代数甲考试卷（ A）卷.doc

填空题 （每小题4分，共20分） 1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=，则|2A|= 4 ； 2. 设三元线性方程组的两个特解为，且, 则的通解为为任意数）； 3. 二次型的标准形是 4. 设三阶方阵的特征值为0,-1,1, 且,则= 3 . 5. 设二次型，则二次型的矩阵为 二、单项选择题（每小题5分，共20分） 1.设都是阶方阵，下列命题正确的是 （ D ） （A） （B） (C) （D） 2. 设是矩阵，是3维列向量，.则方程组 （ A ） （A）必定有解 (B)未必有解 （C）必定无解 （D）必有唯一解 3.矩阵相似于 （ C ） （A） （B） （C） （D） 4. 设二次型， 则为正定的充要条件是满足（ B ） （A） （B） （C） （D） 三、下列各题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 1． 计算行列式; 解：原式==（4分）=（1分） = （1分） 求矩阵的逆矩阵； 解：用初等变换法 （2分） 所以（4分） 3. 求齐次线性方程组的通解 （用特解和基础解系的形式表示）； （2分） 与原方程组同解方程，得特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系，（3分） 方程组的通解为为任意数）（1分） 4.已知矩阵方程，求矩阵。其中 ， 解 由得 因为，所以可逆 于是 （2分） 由于 因此 。（4分） 5.已知矩阵与相似， 求x与y的值 . 解：因为与相似， （2分）， 于是有 ，化简得（2分） 解得：（2分） 6. 已知方阵A的属于特征值的特征向量是和，又向量，求。 解 已知，所以 （3分） =4+2=6 （3分） 四、[本题10分] 已知矩阵. （1）求的特征值和相应的特征向量； （2）若与对角矩阵相似,试求可逆矩阵, 使为对角矩阵,并求对角矩阵. 解 （1）因为的特征多项式为 故的特征值为（二重）, （2分） 将代入特征方程组得 , 其基础解系为 故矩阵的属于特征值的所有特征向量为 (不全为0). （2分） 将代入特征方程组得 , 其基础解系为 故矩阵的属于特征值的所有特征向量为 ().（2分） （2）因有3个线性无关的特征向量, 故可相似对角化. （1分） 令，, 则为可逆矩阵, 且为对角矩阵. （3分） 五、[本题10分] 设二次型，用正交变换把化成标准型，并判断它是否是正定二次型？ 解：（1）二次型对应的矩阵（1分） 解得的特征值 （1分） 将代入特征方程得 得方程组 基础解系 单位化得（1分） 将代入特征方程得 得方程组 基础解系为单位化 （1分） 将代入特征方程得 得方程组 基础解系，单位化（1分） 令，得正交变换（2分） 的标准型 （1分） 由于有特征值，所以二次型不是正定二次型。（2分） 六、证明题(本题4分) 已知二阶正交矩阵满足 且，计算行列式。 解 因为，所以有特征值2。（1分） 又知是正交矩阵且，所以的另一个特征值为，（1分） 因此的特征值分别是。 设，则，，（1分） 所以 （1分）