2015届高考数学第5章 第6节 数列的综合问题考.pptVIP

高考总复习?数学（理科） 第六节 数列的综合问题 第五章 【例1】　设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 等差、等比数列知识的综合 自主解答： (1)解析：设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)， 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4， 即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0， 解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2. (2)证明：(法一)对任意k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1＝2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0， 所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 点评：求解等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，根据已知条件列出正确的方程或者方程组，求出数列的基本量，这样过程往往用到转化与化归的思想方法． 因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 变式探究 解析：设等差数列的公差为d，则－1－(－9)＝4d，得d＝2，而a1－a3＝－2d＝－4，b＝(－9)×(－1)＝9，且b2＜0，所以b2＝－3.所以 故选D. 答案：D 数列与函数知识的综合 自主解答： (3)证明：由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg 3＝ lg 32n－1，∴1＋an＝32n－1. ∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝ 320×321×322×…×32n－1＝ 31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1， 点评：数列与函数的综合问题，一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题． 变式探究 2.(2013·杭州名校模考)如图所示，设曲线y＝ 上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形：△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y＝ 上．设An的坐标为(an,0)，A0为原点． (1)求a1，并求出an和an－1(n∈N*)之间的关系式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设bn＝ (n∈N*)， 求数列{bn}的前n项和Sn. 【例3】　已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝10(x－1)，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，bn＝ (n＋2)(an－1)． (1)求证：数列{an－1}是等比数列； (2)当n取何值时，bn取最大值，并求出bn的最大值． 数列与不等式的综合 点评：数列与不等式的综合问题有两类： (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； (2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明． 变式探究 3． 已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)，使得 ＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则 的最小值是(　　) 解析：设等比数列的公比为q(q＞0)，则a5q2＝a5q＋2a5，解得q＝2，∴aman＝a·2m＋n－2＝42a，得m＋n＝6. 等号在m＝2，n＝4时成立．故选A. 答案：A 数列与算法的综合 【例4】　(2012·常州模拟)根据如图所示的程序框图， 将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2 012；y1，y2，…，yn，…，y2 012. (1)求数列{xn}的通项公式xn； (2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，并证明你的结论； (3)求Zn＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn(x∈N*，n≤2 012)． 解析：(1)由框图知，数列{xn}中，x1＝1，xn＋1＝xn＋2， ∴xn＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*，n≤2 012)． (2)由框图知，数列{yn}中，yn＋1＝3yn＋2， ∴y1＝2，y2＝8，y3＝26，y4＝80. 由yn＋1＝3yn＋2，得 yn＋1＋1＝3(yn＋1)， ∴ ＝3，y1＋1＝3. ∴数列{yn＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴yn＋1＝3×3n－1＝3n. ∴yn＝3n－1(n∈N*，n≤2 012)． ∴数列{yn＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴yn＋1＝3×3n－1＝3n. ∴yn＝3n－1(n∈N*，n≤2 012)． (3)Zn＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn＝ 1×