《现代控制理论》课后习题答案2.pdf

《现代控制理论》第二章习题解答 2.1 试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路? 答：求解齐次状态方程的解至少有两种方法。一种是从标量其次微分方程的解推广得到，通 过引进矩阵指数函数，导出其次状态方程的解。 另一种是采用拉普拉斯变换的方法。 2.2 叙述求解预解矩阵的简单算法，并编程计算例2.1.1 中的预解矩阵。 答：根据定义，为 −1 1 (sI −A) adj(sI −A) (1) det(sI −A) 式（1 ）中的adj(sI −A) 和det(sI −A) 可分别写成以下形式： n−1 n−2 adj(sI −A) H n−1s =+H n−2s ++H 0 (2) n n−1 det(sI −A) s =+an−1s ++a0 (3) 将式（1 ）两边分别左乘det(sI −A)(sI −A) ，并利用式（2 ）和（3 ），可得 Isn +a Isn−1 ++a I H sn =+(H −AH )sn−2 ++(H −AH )s −AH 0 (4) n−1 0 n−1 n−2 n−1 0 1 i 上式左右两个多项式矩阵相等的条件是两边 的系数矩阵相等，故 s ⎧H n−1 I ⎪ H AH =+a I ⎪⎪ n−2 n−1 n−1 ⎨ (5) ⎪ H AH =+a I ⎪ 0 1 1 ⎪0 AH =+a I ⎩ 0 0 由此可以确定式（2 ）中的系数矩阵H 0 , H n−1 。另一方面，可以证明式（3 ）中的系数 a , a 可通过以下关系式来求取： 0 n−1 ⎧an−1 =−tr(A) ⎪ ⎪ 1 an−2 =− tr(AHn−2 ) ⎪ 2 ⎪⎪