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GZX筛法的介绍 郭占祥 一、序论 GZX筛法有两种。第一种是素数倍数筛法，用来验证自然数列1,2,3,…,n,n+1,…中素数分布规律；第二种是孪生数筛法，用来验证奇数列1,3,5,…,d,d+2,…中孪生素数分布规律。 在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…中，不能写成小于数1,2,3,…,n积的(n+1)是素数；2是最小的素数，设小于数1,2,3,…,n中的有限素数为2,…,Pn，不能写成小于素数2,…,Pn积的(n+1)是素数。 在非1自然数列2,3,4,…,n,n+1,…中，逐渐筛去素数2能整除的合数时，其32筛不掉，说明在区间[2，32-1]里剩余的数都是素数（2,3,5,7）；从32开始，逐渐筛去素数2,3能整除的合数时，其52筛不掉，说明在区间[32，52-1]里剩余的数都是素数（11,13,17,19,23）；从52开始，逐渐筛去素数2,3,5能整除的合数时，其72筛不掉，说明在区间[52，72-1]里剩余的数都是素数（29,31,37,41,43,47）；从72开始，逐渐筛去素数2,3,5,7能整除的合数时，其112筛不掉，说明在区间[72，112-1]里剩余的数都是素数（53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113）以此类推……。这是原始经典筛法。 两个、两个以上非1自然数合起来相乘得到的积，简称：合数。显然。凡是合数就能写成两个、两个以上非1自然数的乘式。不能写成两个非1自然数乘式的数就是素数。因为有限素数2,…,Pn的公倍数m=2×…×Pn，各个素数的倍数公差≥2，所以有限素数2,…,Pn各个都不能整除m+1．这证明：大于Pn的素数（Pn+1,…）产生在有限素数2,…,Pn都不能整除的数中。 因为区间[2，m+1]里的自然数个数=m，所以这个区间称为：有限素数公倍数区间。有限奇素数3,…,Pf的公倍数M=3×…×Pf，因为区间[3，2M+1]里的奇数个数=M，所以这个区间称为：有限奇素数公倍数区间。 在区间[2，m+1]里，能被有限素数2,…,Pn整除的数{2,…,Pn|b1,…,bz}有[m-(2-1)…(Pn-1)]个，不能被有限素数2,…,Pn整除的数{2,…,Pnq1,…,qn}有[(2-1)…(Pn-1)]个。因为q1是不能被2,…,Pn整除的数中最小的数，所以q1一定是素数Pn的第一后继素数“Pn+1”。这样，在自然数列1,2,3,…,n,n+1,…中，可以准确无误地计算出每一个素数的分布位置。这就是素数分布规律。注：qn= m+1． 在奇数列1,3,5,…,d,d+2,d+4,…中，不能写成小于数1,3,5,…,d积的(d+2,d+4)是孪生素数；设小于数1,3,5,…,d中的有限奇素数为3,…,Pf，不能写成小于素数3,…,Pf积的(d+2,d+4)是孪生素数。 在非1奇数列3,5,7,…,d,d+2,d+4,…中，除了能被3整除的合数9,15,21,…以外，其余两个相差为2的奇数，称作：孪生数；有无限多对儿。 孪生数列：3,5；5,7；11,13；17,19；23,25；29,31；…；q,q+2； 除了孪生数(3,5)以外，其余称作：独立孪生数。… 独立孪生数列：5,7；11,13；17,19；23,25；29,31；…；q,q+2； 在非1奇数列3,5,7,…,d,d+2,d+4,…中，从3开始，每3项奇数有一对儿独立孪生数；有限奇素数3,…,Pf的公倍数M=3×…×Pf，在有限奇素数3,…,Pf的公倍数区间[3，2M+1]里的独立孪生数有()对儿。注：下面所言孪生数，均指独立孪生数。 在区间[3，2M+1]里，含有限奇素数5,…,Pf的倍数的独立孪生数{5,…,Pf |(b,b+2)1,…, (b,b+2)n}，有[-(3-2) …( Pf-2)]对儿；不能被有限奇素数3,…,Pf整除的孪生数{3,…,Pf(q,q+2)1,…,(q,q+2)n,…,(q,q+2)z}，有[ (3-2) …( Pf-2)]对儿。 设 M+2, M+4 =(q,q+2)n，因为奇素数的奇数倍数公差≥6，所以有限奇素数3,…,Pf都不能整除孪生数(q,q+2)n；设 第n对儿孪生素数为(Pf,Ps)n，因为大于Pf的孪生素数一定产生在不能被有限奇素数3,…,Pf整除的孪生数(q,q+2)1,…,(q,q+2)n,…,(q,q+2)z中，其(q,q+2)1是最小的孪生数，所以(q,q+2)1一定是孪生素数为(Pf,Ps)n的第一后邻孪生素数“(Pf,Ps)n+1”。 这样，在奇数列1,3,5,…,d,d+2,d+4,…中，可以准确无误地计算出每一对儿孪生素数的分布位置。这就是孪生素数分布规律。 二、素数倍数筛法 因为m=2×…×Pn，有限素数