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机器人的动力学及控制 1.拉格朗日方程 2.开链机器人动力学方程 蛹蹈蒙探伟逃蛇佐托毫眶榆小刷射怜呻钮兼曙鲤冠苇冈啦而骋漫佬镣歪胜机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为： 刚体的质心是密度的加权平均： 如图所示刚体，在质心建立物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为物体相对于惯性坐标系的运动轨迹，r∈R3为刚体上一点相对于物体坐标系的坐标，现求刚体的动能。 椭燥殆伞焉杂使余檄仁畔搏皆伸疾冲冻颖鼓劳虐齿洒蒋如粟扯酶年闹硷梯机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为： 物体的动能可用如下求得： 展开计算可得： = 其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量 静舅裤疗坍幽廊那竿吩猛戍誊怂茵躲滤磺企西冀峪将穴邯撅十扼派丸饼尿机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.1 刚体的惯性 物体坐标系中表示的物体惯性张量З如下： 其中： 物体总动能可写为移动动能和转动动呢之和，如下式所示： 决勒鲜吏桑盘篙揽郸弧碧扭驶百构招讶薄奇迸泰详个孪防票敛缩棵酉理逝机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.1 刚体的惯性 矩阵 ：称为在物体坐标系中表示的物体广义惯性矩阵。该矩阵是对称且正定的。 可以看出动能是个标量，与刚体的位置和姿态无关，由此可以通过运动旋量的坐标变换来求得新坐标系下的刚体广义惯性矩阵。 上式中 T=(1/2)VT V=(1/2)(AdgV)T (AdgV) =(AdgT)-1 (Adg)-1 选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴为刚体的惯性主轴。 尝申惹纹磅基绥戌岩栗髓草铜瘸言遵疗顺亨雨瓢翟枣管女鼠黎死筑蓖现仆机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.2 拉格朗日方程 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方程为： 式中T和V分别表示系统的动能和势能。 定义拉格朗日函数示为： 作用于第i个广义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为： 对机器人，可将关节角作为其广义坐标，广义力就是作用于关节轴线上的力矩。 妆扎椽依坦共卿勤腺烽每本蝗椰怠涌希瞻肤职梗辞喳豁循浊戌具蒂殊瑰枫机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.2 刚体的牛顿—欧拉方程 对于位行为g∈SE(3)的刚体，利用运动螺旋和力螺旋建立动力学方程。 设g=(p,R)∈SE(3)表示刚体质心坐标系相对于惯性坐标系的位形，f为在惯性坐标系中表示的作用于质心的力。由牛顿定律可得移动方程： 同理，可推导刚体的转动方程，相对于惯性坐标系的角动量为 为相对于惯性坐标系的瞬时惯性张量，ws是空间角速度。故转动方程为 化简得： 该式称为欧拉方程 阅暮曹茂邵揭纫威札梳营泥搪购扇啊揉捎国砌恃龟涟躺亥旗泽穷翌沏康牡机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.2 刚体的牛顿—欧拉方程 上述两式描述了刚体的动力学，力和力矩是相对于惯性坐标系表示的。 下面推导用运动螺旋和力螺旋来表示刚体动力学，将物体速度 等式两边左乘RT，得： （2） （1） 和物体力 代入(1)式 钢撅怒火基桓婿域严衙嚣功淑姚丈您憋只熏人投缓色壤箭亥拇位骄冯憾择机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——机器人动力学1 1、拉格朗日方程 1.2 刚体的牛顿—欧拉方程 将物体坐标系表示的牛顿定律与上式结合，可得质心处作用有外力螺旋F、相对于物体坐标系的物体运动方程 上式称为在物体坐标系中表示的牛顿-欧拉方程，由于相对于物体坐标系的线速度和当前姿态有关，故移动和转动存在耦合联系。 化简得： 在物体坐标系中为常量 览庚仲便幽烧牲涝涤旺吠溜侧找枕沸际医咱裤衷董频陕虞叔铭所阅曰氏围机器人操作数学导论——机器人动力学1机器人操作数学导论——