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浙江理工大学2009 —2010 学年第 二学期 《线性代数 A 》期末试卷（B）卷 班级： 学号： 姓名： 一、选择题（每题4分，共20分） 设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中 正确的是 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 2． 已知为3维列向量组，行列式, , 则行列式 （A）. －6； （B） 6； （C）－18； （D）18。 3.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶不可逆矩阵，则 （A）A+B为可逆矩阵；（B）A+B为不可逆矩阵； （C）AB为可逆矩阵；（D）AB为不可逆矩阵； 4、设A为n阶矩阵，下列关于矩阵乘积的说法中正确的有???? (?????? ?) （A）若A2=A，则有A=E或A=0；??? （B）若A2=A，且|A|≠0，则有A=E；（C）若AX=AY，且A≠0，则X=Y； （D）若A2=0，则A=0。 5、设矩阵A的秩为r，则下列说法中不正确的是????????????? ( ????????) （A）A中所有的r+1阶子式都等于零；（B）A中可能有等于零的r阶子式；（C）A中存在着不等于零的r阶子式；（D）A中所有的r-1阶子式都等于零； 二、填空题（每题4分，共20分） 1．阶方阵满足，则 。 2．二次型的秩为 。 3．设为3维列向量，是的转置，若，则 。 4．已知，x满足，则 。 5．非齐次线性方程组AX=B的解向量是,若也是AX=B的解，则= 。 三、计算题(48分) 1、（8分）计算行列式 2. （8分）设，求的特征值及对应的特征向量。 3（8分）. 设 ，且矩阵满足关系式 求。 a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（12分） 5.(12分)求一个正交变换,将二次型化为标准形(要求：写出正交变换和标准形). 四、证明题 (12分) 1、设向量组线性无关，且， 证明：线性相关 2．若A，B均为n阶方矩，且A可逆，证明：BA与AB相似 浙江理工大学2009 —2010 学年第 二 学期 《 线性代数 A 》期末试卷（B）卷标准答案和评分标准 一、选择题 1、C; 2、A;3、D;4、B;5、D. 二、填空题 1、；2、3; 3、3 ；4、；5、1. 三、计算题 1、解： ………3分 ………6分 ………8分 2. 解： ………3分 特征值， ………6分 对于λ1＝1，，特征向量为 ………8分 3. 解： …8分 4、解：该方程的增广矩阵为： 1）当，即，b任意取值时，，方程组有唯一解； ………3分 2）当时，即时，方程组无解； ………6分 3）当时，即时， 方程组有无穷多解 ………9分 当时，代入得 ， 同解方程组为 ， 通解为 （其中c为任意常数） ………12分 5、解：二次型f的矩阵为 ………2分 ………5分 ………8分 ，（P形式不唯一） ………11分 且标准形为： ………12分 四、证明 1．证明： = ………2分 而=，所以， ………4分 从而，所以线性相关 ………6分 法三：（基本方法）设 ………2分 只要证明有不全为零的数使（1）式成立即可。 式（1）整理得到：