第一章函数与极限复习.docVIP

第一章 函数与极限 第一部分 函数 基本要求 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，会建立简单函数关系式。 掌握基本初等函数的性质和图形。 了解分段函数的概念，并能画出简单分段函数的图形。 二、主要内容 函数的定义 映射的概念 定义：设、是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作 函数的概念 定义：设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为 函数的传统定义 设有两个变量和，是一个给定的数集，如果对于每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作. 其中称为自变量，称为因变量，称为定义域，记为. 变量的取值的集合称为函数的值域，记为或 函数概念的两要素：定义域 对应关系 函数的性质 函数的有界性 设函数 在区间上有定义，如果，使得对于一切，恒有，则称在上有界，否则称无界。 注意：函数有界、无界是相对于某个区间而言的。 六个常见的有界函数： ， ， ， 例： 在及上无界，在及上有界 函数的单调性 设函数的定义域为，区间，如果对于，当时，恒有 (1)则称函数在区间上是单调增加的. (2)则称函数在区间上是单调递减的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. ，当时，为减函数. 当时，为增函数. 当时，不是单调函数。 函数的奇偶性： 设函数的定义域关于原点对称. 如果对，有，称为偶函数. 如果对，有，称为奇函数. 偶函数的图像关于轴对称. 奇函数的图像关于坐标原点对称. 常见的偶函数：，，(为正整数)等 常见的奇函数： ，，等 函数的周期性 设函数的定义域为，如果存在一个正数，使得对于有，且恒成立，则称为为周期函数，称为的周期. 常见的周期函数:,其周期 其周期 反函数 设函数的值域为，如果对于中任一值，从关系式中可确定唯一的一个值，则称变量为变量的函数，记为，称为函数的反函数. 习惯上的反函数，记为 注：(1) 的图像与其反函数的图像关于直线对称， (2)只有一一对应的函数才有反函数。 例： 隐函数 由方程所确定的函数称为隐函数. 参数方程所确定的函数 若参数方程确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(*)所确定的函数. 基本初等函数： 幂函数：(是常数) 指数函数：() 对数函数：() 三角函数： 反三角函数： 复合函数 设函数的定义域，而函数的值域为，若，则称函数为的复合函数. 为自变量，为中间变量，为因变量。 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 三、重点和难点： 重点：函数的概念、复合函数的概念、函数的简单性质 难点：复合函数 四、例题解析 例1 以下各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） (A) (B) (C) (D) 分析 当且仅当给定的两个函数，其定义域和对应关系完全相同时，才表示同一个函数，否则表示不同的函数. 解 (A)组中与对应关系不同, (B)和(D)组中与的定义域不同，只有(C)组中的与定义域和对应关系均相同.故选 (C). 例2 求函数的定义域. 分析 求函数的定义域，就是求使函数有意义的点的全体. 解 ，即 例3 设，其中，求. 分析 函数的表示法只与定义域和对应关系有关，而与用什么字母表示无关，即 解 令，即，代入原方程得， 即，再令：，即，代入上式得，即. 解联立方程组： 例4 判断函数的奇偶性 分析 判断函数的奇偶性，主要根据奇偶性的定义有时也用其运算性质，是判断为奇函数有效方法。奇偶性是相对于对称区间而言的，若定义域关于原点不对称，则该函数就不是奇、偶函数。 解法一 令 则 所以为奇函数 。 解法二： 所以为奇函数 。 例5 设是以为周期的函数，证明是以为周期的函数. 分析 利用函数的周期性概念 解 令，由于 ， 所以是的周期。 将函数分解为定义在上的一个奇函数与一个偶函数的和， 试问：这样的分解是否唯