广东省中山一中2013届高三下学期5月模拟数学(理)试题.docVIP

广东省中山一中2013届高三下学期5月模拟数学理试题 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高． 如果事件、互斥，那么． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数满足则等于（ ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．命题“”为假命题，是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若，，则； ②若//，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确命题的序号是（ ） A．①③ 　　 B．①② 　　　 C．③④ 　　　　D．②③ 5．按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处的条件 为（ ） A． B． C． D． 6．△外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于（　　） A． B． C． D． 7．如右图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形， 则该几何体的体积是（ ） A． B． C．1 D． 8．对于定义域和值域均为的函数，定义，，…，， n=1，2，3，…．满足的点称为f的阶周期点．设 则f的阶周期点的个数是（ ） A． 　　　　 　　B． C． 　　　　　　　　 D． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式的解集为 ． 10．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为 ． 11．实数x，y满足，若函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为 ． 12．若的展开式中含x的项为第6项，设，则的值为 ． 13．已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知是曲线M：（为参数）上的点，是曲线：（t为参数）上的点，则的最小值为 　　　　 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　 　　 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题满分12分） 在△ABC中，分别为内角的对边，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状． 17．（本小题满分12分） 空气质量指数 （单位）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 空气质量类别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测，获得日均浓度指数数据如茎叶图所示： （Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由） （Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； （III） 在乙城市15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望． 18．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，． （I）若点是棱的中点，求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面⊥平面；（III）若二面角为30°，设，试确定的值． 19．（本小题满分14分） 设分别是椭圆C：的左右焦点． （1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标； （2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程； （3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论． 20．（本小题满分14分） 设数列的前项和为，且满足． （I）求证：数列为等比数列； （Ⅱ）设，求证：． 21．（