学案142正弦函数余弦函数的性质(二).docVIP

【学习要求】 1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值． 2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 【学法指导】 1．在研究正弦、余弦函数的性质时，要充分借助正弦、余弦曲线，注意数形结合思想方法的运用． 2．正弦函数和余弦函数在定义域上都不是单调函数．研究正弦函数的变化趋势时首先选取这一周期区间，然后推而广之；研究余弦函数的变化趋势时首先选取[－π，π]这一周期区间，然后根据周期推广到整个定义域． 3．研究形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调性时，注意A、ω的符号对函数单调性的影响以及整体换元思想方法的应用. 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 值域 对称性 对称轴：；对称中心 对轴称：；对称中心 奇偶性 周期性 最小正周期： 最小正周期：单调性 在上单调递增；在上单调递减 在上单调递增；在上单调递减 最值 在时，ymax＝1；在时，ymin＝－1 在时，ymax＝1；在时，ymin＝－1 探究点一　正、余弦函数的定义域、值域正弦曲线： 余弦曲线： 由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是． 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有： 当且仅当x＝时，取得最大值1； 当且仅当x＝时，取得最小值－1. 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有： 当且仅当x＝时，取得最大值1； 当且仅当x＝时，取得最小值－1. 探究点二　正、余弦函数的单调性 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域． (1)函数y＝sin x，x∈的图象如图所示：观察图象可知： 当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1； 当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得： 当x∈时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1. (2)函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A0)的单调性 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0)单调区间的方法是： 当ω0时，把ωx＋φ看成一个整体，视为X.若把ωx＋φ代入到y＝sin X的单调增区间，则得到2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的增区间． 若把ωx＋φ代入到y＝sin X的单调减区间，则得到2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)，从中解出x的取值区间就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的减区间． 当ω0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解． 余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间类似可求． 请同学们根据上面介绍的方法，写出求函数y＝sin单调递增区间的求法．例1　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin与sin；(2)sin 196°与cos 156°； (3)cos与cos.小结　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练1　比较下列各组数的大小． (1)sin与sin π；(2)cos 870°与sin 980°.例2　求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．小结　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域． 跟踪训练2　求函数y＝(cos 2x)的单调递增区间．例3　求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域．小结　形如f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1对值域的影响．跟踪训练3　求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．1．函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　) A. B.[－π，0] C. D. 2．下列不等式中成立的是(　　) A．sinsin B．sin 3sin 2 C．sin πsin D．sin 2cos 11．求函数y