南昌大学2010级高数(下)试题及答案.docVIP

南昌大学 2010～2011学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设，则 _____. 2. 设，则 _________________. 3. 曲线绕轴旋转一周得到的 旋转曲面方程为_______. 4. 交换积分次序为________. 5. 将函数展开成的幂级数 为__________. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 下列论述正确的是（ ） （A）函数的极值点必是的驻点； （B）函数的驻点必是的极值点； （C）可微函数的极值点必是的驻点； （D）可微函数的驻点必是的极值点． 2．设 ， 其中 具有二阶连续导数， 则 等于（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） ． 3．设非齐次线性方程 有两个 不同的解 ， ， 为任意常数， 则该方程的通解是（ ） （A） ； （B）； （C）； （D）． 4．设有级数，则以下命题成立的是（ ） （A）若收敛，则收敛； （B）若收敛，则收敛； （C）若发散，则发散； （D）以上三个命题均是错误的． 5．设：，； ：，，，， 则有（ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 三、计算题（一）(共24分，每小题6分) 1、设，求， 2、判断级数的敛散性． 3、求与两条直线及都平行 且过点（3，-2，1）的平面方程． 4、设函数是由方程 所确定的隐函数，求， 四、计算题（二）(共21分，每小题7分) 1、计算，其中为摆线的一拱 ， ． 2、计算， 其中：是以点，， 为顶点的三角形正向边界． 3、利用高斯公式计算曲面积分， 其中为的上侧． 五、解答题(共14分，每小题7分) 1、求幂级数的收敛域及和函数． 2、设函数具有连续的二阶导数，，且曲线积分 与路径无关，求函数． 六、应用题(本题满分6分) 求椭球面上点处的切平面 与三个坐标面所围成的立体的体积． 七、证明题(本题满分5分) 设级数和都收敛，且存在正整数， 当时有，证明级数收敛． 南昌大学 2010～2011学年第二学期期末考试试卷及答案 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设， 则. 2. 设，则. 3. 曲线绕轴旋转一周得到的 旋转曲面方程为. 4. 交换积分次序 为. 5. 将函数展开成的 幂级数为. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 下列论述正确的是（ ） （A）函数的极值点必是的驻点； （B）函数的驻点必是的极值点； （C）可微函数的极值点必是的驻点； （D）可微函数的驻点必是的极值点． 2．设 ， 其中 具有二阶连续导数， 则 等于（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） ． 3．设非齐次线性方程 有两个 不同的解 ， ， 为任意常数， 则该方程的通解是（ ） （A） ； （B）； （C）； （D）． 4．设有级数，则以下命题成立的是（ ） （A）若收敛，则收敛； （B）若收敛，则收敛； （C）若发散，则发散； （D）以上三个命题均是错误的． 5．设：，； ：，，，， 则有（ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 三、计算题（一）(共24分，每小题6分) 1、设，求， 解: 2、判断级数的敛散性． 解: 所以该级数收敛。 3、求与两条直线及都平行 且过点（3，-2，1）的平面方程． 解: 设所求平面法向量为，又已知直线的方向 向量分别为：，. 取 ， 所以所求平面方程为： 即. 4、设函数是由方程 所确定的隐函数，求， 解: 设，则 ： ，， 所以， 四、计算题（二）(共21分，每小题7分) 1、计算，其中为摆线的一拱 ， ． 解: 2、计算， 其中：是以点，， 为顶点的三角形正向边界． 解: 直线段方程： ， 直线段方程： 记折线段，，所围成区域为， 由格林公式得： 3、利用高斯公式计算曲面积分， 其中为的上侧． 解: 记平面 为，取下侧， 由和所围成闭区域为， ，，，，， 由高斯公式可得 在平面： 上， 所以 五、解答题(共14分，每小题7分) 1、求幂级数的收敛域及和函数． 解: 所以收敛半径 当时，原级数化为，收敛 当时，原级数化为，发散 所以收敛域为 设的和函数为，即 ， 于是，逐项求导得 上式从到积分，得： 于是，当时，有： 而 ， 故： 2、设函数具有连续的二阶导数，，且曲线积分 与路径无关，求函数． 解: ， 由于曲线积分与路径无关，所以， 又，， 故， 即： 特征方程为，， 的通解为：，