人教版八年级数学全等三角形和轴对称辅助线的添加.docVIP

【技巧】巧添辅助线：为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线，称之为辅助线.辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，进而引刃而解.目前为止，添加辅助线有以下几类：（供参考） 1）“连接法”——看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村. 2）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”，依据是全等变换中的“对折”． 3）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”． 4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段，会给我们带来两个“惊 喜”——Rt∠和距离相等，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答．【导学P40延伸训练】 1）连接法——看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村 【例1】如图，已知∠A=∠C=Rt∠，且AB=CD，试证明AD=BC. 【练习】已知，如图AB=AC，且∠ABD=∠ACD.试证明BD=CD. 2）等腰三角形中，可作底边上的高. 【例2】如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，试说明BD=CE的理由. 3）倍长中线 【例3】已知△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 【练习】如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 4）角平分线上的点向角两边引垂线段 【例4】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD， 求证：∠BAD+∠C=180° 【练习】如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. 5）截长补短 【例5】如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 【练习】如图，已知△ABC为等边三角形，其边长为k，△DBC为等腰三角形，BD=CD且∠BDC=120°过点D作∠PDQ=60°，DP、DQ分别交AB、AC于点M、N，记为，为. （1）如图1，特别地，当BM=CN时，易证BM+CN=MN.此时： ,于是. （2）如图2，当∠PDQ绕点D旋转，使得DP、DQ交线段AB、AC于点M、N时，（1）中的结论还成立吗？请说明. 【分析】当∠PDQ从（1）中的特殊位置旋转至一般的情况时，通过“截长补短”我们可在图形左边补出一个与△NCD全等的三角形. 【解答】如图，延长AB至E使得BE=CN，连接DE.因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°; 又BD=CD且∠BDC=120°，从而∠DBC=∠DCB=30°, 于是∠ABD=∠ACD=Rt∠，所以∠DBE=∠DCN=Rt∠; 在△DBE和△DCN中，,于是△DBE≌△DCN， 所以∠1=∠2，DE=CN;又∠BDC=120°, 所以∠EDN=∠1+∠BDN=∠2+∠BDN=∠BDC=120°, 又∠PDQ=60°,所以∠EDM=∠NDM=60°; 在△EDM和△NDM中，,所以△EDM≌△NDM，所以MN=ME;而ME=BM+BE且CN=BE,所以ME=BM+CN,即MN=BM+CN;所以 ,于是.故（1）中的结论仍然成立. （3）如图3，当∠PDQ绕点D旋转，使得DP、DQ交BA、AC的延长线于点M、N时，（1）中的结论还成立吗？请说明. ※旋转 【例6】已知：△ABC中，BC=AC，且∠C=90°.点D为AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F，当∠MDN绕点D转动时.（1）写出点D到△ABC三个顶点的距离之间的数量关系;（2）试判断△DEF的形状. 【作业】 1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画 一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这 个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 2、已知四边形中，，，，， ，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于 ． 当绕点旋转到时（如图1），易证． 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想