乐昌职业技校文化课数学教案：函数02.docVIP

课 题 函数的单调性和奇偶性 课 时 3 教学目标 了解增函数、减函数的概念，并掌握判断函数的增减性的方法； 了解偶函数、奇函数的概念，并能判断函数的奇偶性。 教学重点 函数单调性、奇偶性的有关概念 教学难点 证明、判断简单函数的奇偶性 教学方法 启发引导式 媒体选用 幻灯或CAI课件 导入新课 复习函数的有关知识；让学生分析研究函数的方法，即研究函数的性质，这节就研究函数的两个显著特性。引入新课 新课教学 函数的单调性 (1)增函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。如下图(1). (2)减函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。如下图(2). (3)单调性和单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。 新课教学 (4)证明函数单调性的方法 ①定义法：a)取值；b)作差；c)定正负；d)结论。 ②直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性。函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反。 ③图象法：根据函数的图象进行判断。 (5)函数单调性的应用：①比较大小；②确定函数的定义域或值域。 [例1]如图是定义在单调区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上是增函数还是减函数。 [解]如图函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数，在区间[-2,1), [3,5]上是增函数。 [例2]证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 [证明]设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)- (3x2+2)=3(x1-x2) 由于x1x2，那么x1-x20,因此f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2) 所以 f(x)=3x+2在R上是增函数。 函数的奇偶性 (1)奇函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)偶函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)函数具有奇偶性的前提条件是其定义域关于原点对称。 (4)性质：奇函数图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数 (5)判断奇偶性的方法：①定义法，a)考察定义域是否关于原点对称；b)判断f(-x)=±f(x)是否成立。②图象法，利用性质进行判断。 [例3]判断下列函数是否具有奇偶性： (1) f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2. [解](1)f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x) 所以函数f(x)=x3+2x是奇函数. (2)f(-x)= 2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x) 所以函数f(x)=2x4+3x2是偶函数， 新课教学 [例4]已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在(0,＋∞)y=f(x)在(－∞0)上也是增函数。 [证明]设x1，x2∈(－∞0)，且x1x2. ∵f(x)是奇函数 ∴f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2) 由假设可知-x10,-x20，即-x1，-x2∈(0,＋∞)x1-x2 又f(x)在(0,＋∞)f(-x1)f(-x2) 所以 -f(x1)-f(x2)，即f(x1)f(x2), 所以函数y=f(x)在(－∞0)上也是增函数。 能力训练 下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( B ) A．y=-x+1 B． C．y=x2-4x+5 D． 已知奇函数f(x)在区间(0,＋∞)f(x)在区间 (－∞0)上是 ( B ) A.减函数 B.增函数 C.减函数或增函数 D.不存在单调性 函数(1)y=2(x-1)2-3；(2)y=x2-3|x|+4；(3)；(4)中既非奇函数也非偶函数的是 ( C ) A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(1)(3) D.(1) 判断函数的奇偶性(根据定义) (1) f(x)=|x+1|-|x-1| (2)f(x)= [答：(1)奇函数；（2）其定义域，由≥0,得-1≤x1,不对称于原点，即为非奇非偶。]