一、双曲线的标准方程.docVIP

双曲线的标准方程 教学目标： 知识目标： 理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法。 能力目标： 掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法 情感目标： 通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。 教学重点： 双曲线的定义，求双曲线标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。 教学难点： 双曲线标准方程的推导及结合实际条件求双曲线的标准方程。 教学过程： 　　【复习提问】 　　由一位学生口答，教师板书． 　　问题1：椭圆的第一定义是什么？ 　　问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 　　【新知探索】 　　1．双曲线的概念 　　如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是怎样的呢？ 　　（1）演示 　　如图，定点 、 是两个按钉， 是一个细套管，点 移动时， 是常数，这样就画出双曲线的一支，由 是同一个常数，可以画出双曲线的另一支． 　　这样作出的曲线就叫做双曲线． 　　（2）设问 　　①定点 、 与动点 不在同一平面内，能否得到双曲线？ 　　请学生回答，不能．指出必须“在平面内”． 　　② 到 与 两点的距离的差有什么关系？ 　　请学生回答， 到 与 的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即 是一个常数． 　　③这个常是否会大于或等 ？ 　　请学生回答，应小于 且大于零．当常数 时，轨迹是以 、 为端点的两条射线；当常数 时，无轨迹． 　　（3）定义 　　在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义： 　　平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 　　2．双曲线的标准方程 　　现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导． 　　（1）建系设点 　　取过焦点 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立在直角坐标系（如图）． 　　设 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 ，则 、 ，又设点 与 、 的距离的差的绝对值等于常数 ． 　　（2）点的焦合 　　由定义可知，双曲线上点的集合是 　　（3）代数方程 　　 　　（4）化简方程 　　由一位学生演板，教师巡视， 　　将上述方程化为 　　移项两边平方后整理得： 　　两边再平方后整理得： 　　由双曲线定义知 即 ，∴ ， 　　设 代入上式整理得： 　　这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在 轴上，焦点是 、 ，这里 ． 　　如果双曲线的焦点在 轴上，即焦点 ， ，可以得到方程 　　 　　这个方程也是双曲线的标准方程． 　　教师应当指出： 　　（1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接， 　　（2）双曲线方程中 ， ，但 不一定大于 ； 　　（3）如果 的系数是正的，那么焦点在 轴上，如果 的系数是正的，那么焦点在 轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置； 　　（4）双曲线标准方程中 、 、 的关系是 ，不同于椭圆方程中 ． 　　【例题分析】 　　例1? 说明：椭圆 与双曲线 的焦点相同． 　　由一位学生板演完成，答案都是 ． 　　例2? 已知两点 、 ，求与它们的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程．如果把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？ 　　由教师讲解 　　解：按定义，所求点的轨迹是以 、 为焦点的双曲线． 　　这里 ， ，∴ 故所求双曲线的方程为 　　 　　若 ，则 且 ，所以动点无轨迹． 　　（三）随堂练习 　　1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． 　　（1） ， ； 　　（2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－5）． 　　2．已知方程 ，求它的焦点坐标． 　　3．已知方程 表示双曲线，求 的取值范围． 　　答案：1．（1） 或 ；（2） ；2． ；3． 或 　　（四）总结提炼 　　1． 双曲线定义  （ ， 为定点， 为常数） 图形 ? ? ? ? ? ? 标准方程   焦点坐标 ， ， ， ， 关系  　　2．双曲线的标准方程可统一写成 ．若 ， 表示焦点在 轴上的双曲线，若 ， 则表示焦点在 轴上的双曲线． 　　 2