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单因素方差分析 双因素方差分析 正交试验 第七章 方差分析与正交试验 7.1单因素方差分析 水稻产量 肥料 A1 A2 A3 重复试验 1 94 62 78 2 91 68 65 3 75 50 80 7.1单因素方差分析 方差分析研究因素对指标是否有显著的影响。 试验结果称为试验指标，简称指标，通常用X表示； 试验中可控的条件称为因素，通常用A,B,C等表示； 每个因素通常有几个不相同的状态或等级称为水平，例如A的r各水平，记为A1,A2,…,Ar 7.2 单因素方差分析 假设各水平下该指标 各总体抽取容量为nj 的样本： 假设各样本独立，且方差相等。 7.2 单因素方差分析 理论总均值 水平Ai对试验指标的效应 7.1单因素方差分析 7.1 单因素方差分析 在单因素方差分析基本原理： SA越大，SE就越小，则各水平之间的差异就越明显。 7.1 单因素方差分析 在H0成立时，可证 可证 7.1 单因素方差分析 水稻产量 肥料 A1 A2 A3 重复试验 1 94 62 78 2 91 68 65 3 75 50 80 7.1 单因素方差分析 例1 7.1 单因素方差分析——R软件 7.1 单因素方差分析——R软件 R软件提供aov()函数和summary()实现方差分析的计算，该函数的定义及使用： aov(formula, data = NULL) F=data.frame(y=c(84,77,80,87,90,78,81,78,84,84,72,77,81,73,83,79,68,75,77,92,87,88,84,89,88,86,92,93,90,88), A=gl(3,10)) #指定水平 plot(F$A, F$y) a=aov(y~A, data=F); summary(a) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F) A 2 587.5 293.73 12.62 0.000135 *** Residuals 27 628.7 23.29 7.2 双因素方差分析 例：在化工生产中为了提高得率，选了2个因素做实验，试分析不同温度与不同的浓度及交互作用对得率是否有显著影响。 7.2 双因素方差分析 例（大豆施肥试验）某村在八块面积相同、土质也一样的大豆试验田上，用不同方式施肥，大豆产量如下： 产量 磷肥 P1 P2 氮肥 N1 N2 290,391 310,330 330,350 430,450 平均产量 磷肥 P1 P2 氮肥 N1 N2 300 320 340 440 7.2 双因素方差分析 320 380 310 390 总均值350 7.2 双因素方差分析 设因素A有r个水平A1,A2,…,Ar 设因素B有s个水平B1,B2,…,Bs 每个水平组合重复做m次试验，设试验结果为Xkij 试验结果 因素B B1 B2 … Bs 因素A A1 A2 … Ar 7.2 双因素方差分析 7.2 双因素方差分析 检验每个因素及两个因素的交互作用是否有显著性的影响 试验结果 因素B B1 B2 … Bs 因素A A1 A2 … Ar 7.2 双因素方差分析 回归拟合值 拟合向量 残差值 残差向量 5.3 最小二乘法估计 H, I-H均为对称幂等矩阵,且 X’(I-H)=0, (I-H)X=0 5.3 最小二乘法估计 5.3 最小二乘法估计——性质 例1 (组合称重法)在天平的两个秤盘上分别放上这四个物体中的几个,并在其中的一个秤盘上加上砝码使之达到平衡。则有线性回归模型 其中y为使天平达到平衡所需的砝码重量。约定，如果砝码在左边秤盘上则y为负值。xi的值为0，1或-1，0表示第i个物体没有被称，1和-1分别表示该物体放在左边和右边秤盘上。回归系数就是相应物体的重量，我们总共称了4次，如下： y x1 x2 x3 x4 20.2 8.0 9.7 1.9 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 5.3 最小二乘法估计——性质 回顾.求下面模型中参数a,b的最小二乘估计 已知 5.3 最小二乘法估计——性质 lm