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有交货时间限制的大规模实用下料问题 有交货时间限制的大规模实用下料问题 朱珠,王辉,张志敏 指导老师：鲁习 (华东理工大学理学院数学系,上海 200237) 摘要：本文讨论了有交货时间限制的大规模单一原材料下料问题。对于一维下料问题，本文提出 一种新的算法：DP 贪婪算法。在一维的基础上建立了二维的求解模型，运用降维思想结合一维的 DP 贪婪算法，给出解决该模型的算法。数值计算结果表明该算法对大规模下料问题是有效的。 关键词：下料问题，DP ，贪婪算法 1、问题描述 单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L,宽度为W，现在需要将一批这种 长方形原料分割成 m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为 (l , w ), , (l , w ) ，其中 w  l  L, w  W,i  1, ,m 。 m 种零件的需求量分别为 1 1 m m i i i n , , n 。下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。这类问题在工程上通常简称为二维下 1 m 料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即w  W,i 1,,mi ，则问题称为一维下料 问题。 一个好的下料方案是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求 任务, 同时下料方式数也尽量地小. 2、一维下料问题 2.1 模型假设 在充分了解并分析了实际情况后，我们对一维下料问题提出如下假设： （1）每天下料的数量受到企业生产能力的限制，在未完成需求任务前，每天下料的数量等于最大 下料能力。 （2）每个切割点处由于锯缝所产生的损耗不可忽略。 （3）增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08% 。 （4）每种零件有各自的交货时间，若某零件无交货时间，则记该零件交货时间为无穷大。 2.2 一维单一原材料实用下料问题的模型 根据公司要求，目标是既要所用材料最少，也要下料方式少。记m ：零件种类总数,xi ：第i 种下料方式下料的根数，k ：下料方式的种类数， : 第 i 种下料方式的余料。借助函数 i 1 x  0 signal(x ) i  i ，可得所用材料f (x) 和采用的下料方式f (x) 分别为： 1 2 0 x  0  i k k ，   f (x)   x f (x)  signal x 1 i i 2 i i1 i1 借助模型假设中假设 (3)：增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08% 。故可将双 目标转化为单目标： 1 有交货时间限制的大规模实用下料问题 k   k    