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北京市西城区2011年高三二模试卷 数学（文科） 2011.5 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合，且，则 （B） （C） （D） 2.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.已知，则下列不等式正确的是 （A） （B） （C） （D） 4.在中，“”是“为直角三角形”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 （A） （B） （C） （D） 6.函数的部分图象如图所示，设为坐标原点，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则 （A） （B） （C） （D） 7．若函数在区间上 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 8．已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则 的最大值为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知为等差数列，则项之和为_____. 10．已知向量，，设与的夹角为，则_____. 11.在中，若，则_____. 12．平面上满足约束条件的点形成的区域为，则区域的面积为 ________；设区域关于直线对称的区域为，则区域和区域中距离 最近的两点的距离为________. 13.定义某种运算，的运算原理如右图所示. 则______； 设.则______. 14.数列满足，，其中，．给出下列命题： ①，对于任意，； ②，对于任意，； ③，，当（）时总有. 其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）若，求的值. 16.（本小题满分13分） 如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积. 17.（本小题满分13分） 由世界自然基金会发起“地球小时”，已发展为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.部分公众提出了疑问 支持 保留 不支持 20岁以下 800 450 200 20岁以上（含20岁） 100 150 300 （Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值； （Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率； （Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率. 18.（本小题满分14分） 设函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值. 19.（本小题满分14分） 已知椭圆（）的焦距为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且成等比数列，求的值. 20.（本小题满分13分） 若函数对任意的，均有，则称函数具有性质. （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. （Ⅱ）若函数具有性质，且（）， 求证：对任意有； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例. 1 正(主)视图 俯视图 2 2 2 侧(左)视图 2 1 x B P y O 开始 输入 否 结束 输出 是 A B A B C C D M O D O