高中数学选修2-3第二章随机变量与其分布教案.docVIP

第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量 定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，，，… 表示． 思考：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 2．?1．2离散型随机变量的分布列 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 如果针尖向上的概率为，试写出随机变量 X 的分布列． 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（) ．于是，随机变量 X 的分布列是 ξ 0 1 P 像上面这样的分布列称为两点分布列． 两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布 ( two一point distribution)，而称=P (X = 1）为成功概率． 两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．， ，，． 4. 超几何分布列： 例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率． 解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为 。 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P (2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为 , 其中，且．称分布列 X 0 1 … P … 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布（ hypergeometriC distribution ) . 例 3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率． 　例4.已知一批产品共 件，其中 件是次品，从中任取 件，试求这 件产品中所含次品件数 的分布律。　　解 显然，取得的次品数 只能是不大于 与 最小者的非负整数，即 的可能取值为：0，1，…，，由古典概型知　　 　　此时称 服从参数为的超几何分布。　　注 超几何分布的上述模型中，“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件”.如果是有放回地抽取，就变成了 重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数 很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当 时，超几何分布的极限分布就是二项分布，即有如下定理.　　定理 如果当 时，，那么当 时（ 不变），则　　。 　　由于普阿松分布又是二项分布的极限分布，于是有： 超几何分布 二项分布 普阿松分布. 例5．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取