第四章 - virginia.docVIP

第四章 无驱动和/或无检测系统的分解 4.1 导论 在这一章里，我们引入对以下三种类型的线性时不变系统的结构化分解技术。和一般的多变量系统相比，这些系统要相对简单一些。这一章所采用技术的本身是非常有用的。对于后面章节所讨论的更一般系统的结构化分解的更完全理论，这些技术可作为前奏。本章将考虑一下几个类型的系统： 由定常矩阵描述的自治系统，即 由矩阵对所描述的无驱动系统，即 由矩阵对所描述的无检测系统，即 这里提一下，系统（4.1.2）和（4.1.3）是相互对偶的。 具体地说，我们先对自治系统（4.1.1）引入稳定性结构分解（SSD）和实Jordan分解（RJD）。然后给出无驱动系统（4.1.2）的两种分解，即可观测结构分解（OSD）和分块对角可观测结构分解（BDOSD）。根据对偶原理，对无检测系统（4.1.3）也有两种分解，即可控结构分解（CSD）和分块对角可控结构分解（BDCSD）。这些分解在后面章节里推导关于更复杂的系统的结果很有用。它们可以说是解决许多系统和控制问题的关键，如传感器和执行器的选择（参见[31，92]）和几乎干扰解耦问题（参见[22，23，86]）。 4.2 自治系统 考虑如下线性时不变自治系统， 对这样一个自治系统，我们在这一节里给出两种结构化分解，即稳定性结构分解（SSD）和实Jordan分解（RJD）。 定理4.2.1（SSD）考虑（4.2.1）中定常矩阵所表征的自治系统，存在一个 非奇异变换和非负整数，和，使得 其中，，，，，。SSD完全分离了稳定动态、不稳定动态，以及和虚轴上特征值相关联的动态。 这个变换的存在性可直接从后面的实Jordan规范形分解得到。我们接下来要给出一个构造性的算法来实现上面的SSD。实际上在后面的搜寻Jordan和实Jordan规范形的过程中，这里的SSD可用于改善数值计算条件。 构造过程的关键是受到以下事实的启发。对一个有不同特征值的方阵，存在一个非奇异变换，即相应的特征矢量矩阵，可对角化所给定的矩阵。把所有的稳定特征值，所有的不稳定特征值和所有的虚轴上特征值都分别归在各自一类中，这些特征值显然是不同的，我们就可以计算出各自相应的特征空间，形成可以把给定矩阵块对角化为（4.2.2）的变换。下面的构造性算法来自Chen [19]： SSD步骤1 利用数值稳定的实Schur分解（参见 Golub和Van Loan [59]）找到一个正交矩阵，使得对某些整数有 其中符号表示不感兴趣的矩阵。对每个，或者是实的标量，如，或者是由一对复特征值组成的一个矩阵，如。而且，是按以下次序排列的。 SSD步骤2 令，和分别为在，和上特征值的个数。同时令 的列张成了的特征值中非正特征值所对应的整个特征矢量空间。 SSD步骤3 再次利用实Schur分解来找到另一个正交矩阵，使得 其中，和。令 的列张成了的正特征值所对应的整个特征矢量空间。 SSD步骤4 令 则 其中，。 SDD步骤5 对矩阵再次利用实Schur分解，找到一个正交矩阵使得 其中，，现在定义 SDD步骤6 对矩阵再利用一次实Schur分解，找到正交矩阵，使得 其中，，定义 SSD步骤7 最后令 和 可以验证 其中，和。这样就完成了稳定性结构分解算法。 上面的算法已经在[87]中由-函数m-实现。在处理离散时间系统时，原则上可以对上面的过程加以修改。即重新安排特征值的排序以得到所需变换，该变换把给定矩阵的特征值分成三部分，分别在（在单位圆内的复标量集合），（在单位圆上的复标量集合）和（在单位圆外的复标量集合）。问题是要重新编写实Schur分解的程序。根据Chen [19] 的结果，可以利用上面算法得到一个简单方法来找到变换，从而实现这样的分解。令为复平面上单位圆内的一个标量，但不是的特征值，定义一个新的矩阵 其中是的复共扼。很容易证明是实矩阵。接下来对用SSD步骤1到SSD步骤7，得到变换使得 其中，和。然后可以证明用同样的可以得到 其中，和。离散时间系统的稳定性结构分解也在[87]中由m-函数实现了，就是。 我们用下面的例子对方法进行演示。 例4.2.1 考虑（4.2.1）的自治系统，系数矩阵为 它的特征值在0，－１，１，－２j和２j。采用定理4.2.1的SSD算法，即[87]中的m-函数，我们有 利用它就可以得到以下关于的稳定性结构分解 。 利用[87]中的m-函数可得 利用它得到以下关于的稳定性结构分解 。 下面介绍自治系统的另一种分解，即实Jordan分解（RJD）。文献中对变换到Jordan规范形时所存在的数值计算困难已有充分的理解。然而Jordan形却是研究线性系统的有效工具。 定理 4.2.2（RJD）考虑（4.2.1）中定常矩阵所表征的自治系统，存在一个非奇异变换和整数使得