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中值定理与导数的应用 * 第三章 中值定理与导数的应用 ? 经济中的最值问题 ? 经济函数的导数——边际 导数在经济中的应用 ? 经济函数的弹性 一、导数的经济意义——边际 边际成本为： 经济学家把函数的导数（函数的变化率）称为该函数的边际值 边际收入为： 边际利润为： 二、经济中的最值问题 （1）收入(益)最大 （2）利润最大 （3）成本最低 （4）总产量或平均产量最高 （5）征税收益最大 （6）最佳时间选择（经基P155-156） （7）存货模型（经基P156-159） 例2 解: 1）当需求量达到1000件时 即当商品价格为625元时，市场需求量可达1000件. (2)总收益函数为 R=pq 价格p为3.66时，R有最大值 这时，产量为： 但商品以“百件”计量，不能分割，所以q取整数,取q=4(百件),q=5(百件) q=4时 q=5时 所以价格为4千元时，销售400件,总收入16000元，达到最大。 解 例3 平均成本函数为： A(3000)为最小值, 解 例4 征税收益问题： 厂商生产产品，追求最大利润，而政府对产品要征税，希望征税收益最大 设税率为 t——即单位产品的税收金额； 产量q；收益R；成本C 征税总收益 税后总成本 税后总利润 解 例5 征税收益 税后总成本 税后总利润 由于获最大利润的条件是： 所以，税后获最大利润的产量是： 征税收益函数为 所以，征税收益最大的税率是： 最大征税收益是： 此时： 此时产品的价格为： 三、函数的相对变化率——函数的弹性 例：商品甲每单位价格10元，涨价1元，商品乙每单位价格1000元，涨价1元，两种商品的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却不同，商品甲涨了10%，商品乙涨了0.1%。 所以，还需讨论函数的相对改变量与相对改变率——弹性 一般地，f(x)的弹性函数定义为： 需求弹性为： 弹性的经济意义： 解： 说明当p=3时，价格上涨1%，需求减少0.6% 说明当p=6时，价格上涨1%，需求减少1.2% 说明当p=5时，价格与需求变动的幅度相同 用需求弹性分析总收益的变化： 总收益函数 (1)若?1，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，R?0，R递增，即价格上涨，总收益增加，价格下降，总收益减少。 (2)若? 1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，R?0，R递减，即价格上涨，总收益减少，价格下降，总收益增加。 (2)若? =1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时，R?=0， R取得最大值。 解： 说明：当 p=6 时，价格上涨，总收益将增加 * *