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三角函数最值问题探究 2008-10-8 三角函数的值域和最值是三角函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一.求三角函数的值域和最值，所涉及三角函数的所有知识外，还与二次函数、不等式等其他重要知识点有密切的联系，是历年高考考查的热点。本文对三角函数求值域（最值）的几种常用类型略作归纳，供同学们参考。 1．型 设化为一次函数在闭区间上最值求之。 例1 求函数的最值 解 令，则原式化为，得，故 2．型 引进辅助角，化为，再利用正弦、余弦的有界解之 例2 当，求函数的最值 解 ，设，即， 由的图象知，当时，有最小值，；当时，有最大值1，故； 3．型 设，化为二次函数在闭区间上的最值求之 例3 求函数的值域 解 原式化为 令，则，由二次函数图象可知，当时，当时， 4．型函数此类函数可先降次，整理再化为：求的最大值、最小值。??? 例? 求 的最大值??? 解 ??? 当时，y取得最大型函数 设化为二次函数在闭区间上的最值求之 例5 求函数的最值 解 原式化为，则令，则，且，故，所以当时，；当时，。 6．型 反解出，由正弦函数的有界性；或可用分析法求最值 例6 求函数求最值 解法一：利用求反函数法解出，由，解得，故； 解法二：利用“部分分式”分析法， 原式化为，再由，解得， 故 7．型 化归为型解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义） 例7 求函数的最大值及最小值 解法一： 原式可化为，化为，即，由得，解得，故 解法二：函数的几何意义为两点，连线的斜率，而点的轨迹为单位圆，如图可知，， 故 8．型 例8 求函数的最小值。 解：令，，则，利用函数型的单调性得，函数在上为单调递减函数，故当时，最小值为5。 由以上几种形式归纳出解三角函数最值问题的基本方法：一是用正余弦函数的有界性求解，二是利用二次函数闭区间内最大值、最小值方法。此外，还可以利用重要的不等式公式或数形结合的方法来解决。在区间上的最大值是( C ) A.1 B. C. D.1+ 2.（重庆卷10)函数f(x)=() 的值域是B （A）[-] (B)[-1,0] （C）[-] （D）[-] 3.（上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 2 4.（辽宁卷16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________． 的内角所对的边长分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值． 解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则； （Ⅱ）由得 当且仅当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 6.（北京卷15）．（本小题共13分） 已知函数（）的最小正周期为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的取值范围． 解：（Ⅰ） ． 因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 因为， 所以， 所以， 因此，即的取值范围为． 7.（四川卷17）．（本小题满分12分） 求函数的最大值与最小值。 【解】： 由于函数在中的最大值为 最小值为 故当时取得最大值，当时取得最小值 8.（天津卷17）（本小题满分12分） 已知函数（）的最小值正周期是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合． （17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解： 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为． 9.（安徽卷17）．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数在区间上的值域 解：（1） 由 函数图象的对称轴方程为 （2） 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以 当时，取最大值 1 又 ，当时，取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 10.（湖北卷16）.已知函数 （Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式； （Ⅱ）求函数的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ） 　 　＝ （Ⅱ）由得 在上为减函数，在上为增函数， 又（当）， 即 故g(x)的值域为 11.（陕西卷17）．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最