《数学分析》考试大纲 - 矿业大学（北京）研究 .doc

《数学分析》考试大纲 学院（盖章）： 负责人（签字）： 专业代码：070101、070102、070103、070104 专业名称：基础数学、计算数学、概率论与数理统计 、应用数学 考试科目代码： 611 考试科目名称：数学分析 本《数学分析》考试大纲适应于中国矿业大学（北京）理学院数学各专业硕士研究生入学考试。《数学分析》不仅是大学本科阶段数学各专业重要的基础课程，而且也是数学各专业研究生阶段许多课程的基础。这些课程从本质上来说是数学分析延伸、深化或应用，数学分析的基本概念、思想与方法，更是无处不在的。考生必须真正学好该门课的知识，为学习其他专业课程打下坚实的基础掌握研究分析领域的基本方法，基本上掌握数学分析的论证方法具备较熟练的演算技能初步的应用能力’Hospital法则 Taylor公式 应用导数研究函数 一元积分学 不定积分法与可积函数类 定积分的概念、性质与计算 定积分的应用 反常积分 级数 数项级数的敛散判别与性质 函数项级数与一致收敛性 幂级数 Fourier级数 多元微分学 欧式空间 多元函数的极限 多元连续函数 偏导数与微分 隐函数定理 Taylor公式 多元微分学的几何应用 多元函数的极限 多元积分学 重积分的概念与性质 重积分的计算 二重、三重积分 含参变量的正常积分和反常积分 曲面积分与Green公式 曲面积分 Gauss公式、Stokes公式、线积分与路径无关 (三)、考试要求 一、分析基础 1、了解实数的基本性质，理解有界、无界及上下确界的意义。掌握绝对值不等式及平均值不等式。 2、熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。 3、掌握序列极限的意义、数学语言的陈述及性质（特别，单调序列的极限存在性定理）和运算法则，熟练掌握求序列极限的方法。 4、掌握函数极限的意义、数学语言的陈述及性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两种情形），熟练掌握求函数极限的方法，了解广义极限和单侧极限的意义。 5、熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变量代换、两边夹法则等），掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧。 6、理解无穷大量与无穷小量，同阶和高（低）阶无穷大（小）量的意义，特别是等价无穷小量的意义。 7、熟练掌握函数在一点及在一个区域上连续的概念、理解函数两类间断点的意义，掌握初等函数的连续性，理解介值定理，一致连续和不一致连续的概念。 8、掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限数及区域无穷两种情形）存在的充分必要条件。 9、掌握涉及实数完备性定理的叙述以及相互之间的证明、有界闭区间上的连续函数的性质’Hospital法则求函数极限的方法。 6、理解Taylor公式（Lagrange余项和Peano余项）的意义，并熟记五个基本公式()，能将给定函数在指定点展成Taylor级数，掌握应用Taylor公式解决不等式证明、求函数极限等问题的基本技巧。 7、熟练掌握应用导数判断函数升降、凹凸性以及画出函数图像的方法，以及求一元函数极值和最值的方法。 三、一元积分学 1、理解不定积分的概念和基本性质，熟记基本积分表，理解并掌握换元法和分部积分法的意义和方法，了解并应用它们熟练计算不复杂的不定积分。 2、灵活运用积分方法求不定积分，熟练掌握有理函数、三角函数有理式及简单的简单的根式的有理式的积分方法。 3、理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及函数在有限区间上可积的充分必要条件，熟练掌握定积分的计算方法，了解变限定积分的性质，掌握积分中值定理。 4、熟练应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积、立体体积、旋转曲面表面积，并应用于求均匀平面图形重心坐标等简单物理、力学问题。 5理解反常积分及收敛、绝对收敛和发散的意义，掌握反常积分的收敛的判别法则。 四、级数 1、掌握数项级数收敛、发散和绝对收敛的概念、级数收敛的充分必要条件，收敛和绝对收敛的性质以及级数加法和乘法的运算法则。 2、熟练掌握正项级数敛散判别法（比如判别法、D’Alembert判别法、Cauchy根式判别法以及Cauchy积分判别法），掌握一般项级数敛散判别法。能计算一些特殊数项级数的和。 3、理解函数项级数收敛的意义并能够确定其收敛域。理解函数序列收敛以及函数项级数一致收敛的意义，掌握函数项级数一致收敛判别法则。 4、理解幂级数的概念并能够确定其收敛半径，掌握幂级数的基本性质和运算法则，熟记五个基本幂级数展开式()，能够求出给定函数在制定点的幂级数展开式及应用幂级数运算求一些级数的和。 5、理解函数Fourier展开式的意义，掌握Fourier展开式的基本方法。了解Fourie