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立体几何解题策略 2016.5.26 说明：请结合示范性例题或者作一些辅助图形加以理解说明。 一、平行、垂直关系的证明； 证明要点：依据明确，书写规范，步骤跳跃不能太大。 1、平行关系的证明（辅助线：中位线、等分线）； 线线平行线面平行面面平行，其中转化的核心与桥梁是“线面平行”，方法上一定要注意“中位线”的添加与使用。 2、垂直关系的证明； 线线垂直线面垂直面面垂直，其中特别要注意的是“线面垂直的判定定理”与“面面垂直的性质定理”，在“面面垂直的性质定理”中，“面内一线”与“垂直于交线”这两个条件一定要足够重视。另外，两条平行线与一个平面垂直的两个定理，也要重视理解。还有就是通过计算解决垂直关系也要重视。 二、几何（传统）法——求空间角： 解题要点：步骤分明，书写规范，计算准确，答案显眼。 切记解题要体现“作——证———求”的思路。 方法（常用）： 1、定义法与三垂线定理法； 其中三垂线定理法使用率高，在它的一些典型图形以及变式（如旋转、倾斜、倒置等）中，一定要做到能找到“三线”即：垂线、斜线、射影。 重要特征：有垂直于二面角中的一个面的“垂面” 2、等体积法（求点面距离）： 线面角：等体积法求高线，求得线面角的正弦值： 二面角：二面角中的一个面内有垂直于棱的“垂线”，等体积法求高线， 求得二面角的正弦值： 3、转化法； 难求难作的角可通过“互补、互余、拆分、平移”等方法转化到易作易求的角。 （1）钝二面角转化为补角； （2）直二面角内的二面角转化为余角； （3）钝二面角减直二面角转化为锐二面角； （4）对称图形的二面角拆分为两个等二面角； （5）平移二面角中的一个面 三、向量法——求空间角： 要点：合理建系，计算耐心仔细，争取一步到位（无法检查错误所在！） （1）法向量的求法与取法。（注意利用与面平行的向量，以及取整数特别是1） （2）线面角公式：（不要与线线角混淆） （3）二面角公式.；（注意判断锐角与钝角） （4）坐标不明显，难以直接看出的点： 一定要通过向量运算（数量积、共线定理等）、线段的长度等构建方程（组）求解。 （5）存在性、动态性问题； 要点是用动点的变量与引入的参数进行数量化计算，从而解决问题。 注意点：一要合理设动点（变量越少越好）；二要合理引入参数（便于计算）。 关键：法向量的坐标运算（含参数） 四、翻折问题： 1、分析清楚翻折前后的“不变量”与“改变量”，特别要把“不变量”尽可能地标在翻折前后的两个图上，计算证明时两个图同时会用的。 2、翻折问题中包含着对称问题，解题时注意使用。 例题： 1、已知矩形中，分别在上，且，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上. (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 求二面角的大小. （I）∵∥∥ ∴∥平面，∥平面 ∴平面∥平面，∴∥平面 （II）方法一： 由（I）可知平面∥平面 ∴二面角与二面角互补 过作于，连结 ∵平面 ∴ ∴平面 ∴ ∵，， ∴ 过作交延长线于点，连结 ∵平面 ∴ ∴平面 ∴ ∴为二面角的平面角 ∵ ∴∴二面角的大小为 方法二：过作∥，过作平面 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系 ∵在平面上的射影在直线上，设（） ∵，， ∴ ∴……10分 ∴ ∴ 设平面的法向量为 又有 ∴ ……………12分 又∵平面的法向量为 设二面角的大小为，显然为钝角 ∴ ∴………14分 2、在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2 （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？ 若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。 （Ⅱ）解：如图，在平面PAD内作BM⊥PA于M,连CM. 由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。 在Rt⊿ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB= 在Rt⊿POD中, PB2=PO2+OD2, 在Rt⊿PDB中, PB2=PD2+BD2, 所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6. 在Rt⊿POA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5又 从而所以,综上存在点M符合题意 2