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常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如，，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。的解为 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 的解为 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如，令，原不等式就变为，再算出t的范围，进而算出x的范围 又如，令，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 序号 步骤 1 首先判定二次项系数是否为0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论 2 二次项系数非0，将其化为正的，讨论判别式的正负性，从而确定不等式的解集 3 若可以直接看出两根，或二次式可以因式分解，则无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小 4 综上，写出解集 如不等式，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论的正负性即可。 此不等式的解集为 又如不等式，发现其可以通过因式分解化为，所以只需要判定和的大小即可。 此不等式的解集为 又如不等式，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成，然后开始判断两根和的大小关系，这样做是有问题的。 事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数是有可能为0的。讨论完的情况再讨论和的情况。所以此不等式的解集应该是： 注意，和时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。 二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式 这种问题的一般形式是（或） 步骤： ①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。 ②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。 例如，求不等式的解集，画出图如下，发现解集为 为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为②两正两负，只能是正，负，此时解集为③四项均负，解集为。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。 由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。 注意，这种方法要灵活使用，若不等式为，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。 的示意图见下。 三、解分式不等式 分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为（或的形式），此时解就可以解出原不等式的解集。 特别地，若要解，则解即可。 例如，移项化简得，使用穿针引线法得到解集为，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。 例：一道比较复杂的题，求的解集，现写出此题的完整解题过程。 解：原不等式通过移项通分可化为，由于，所以可以进一步化为，两根为和。 当时，解集为两根的两边，显然有，所以此时解集为 当时，解集为两根中间，此时必须根据的取值判断两根范围。 ①当时，，此时解集为 ②当时，，此时解集为 ③当时，，此时解集为 至此，的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了 当然，如果这道题不给的限制条件，只需要再讨论一下时的解集情况即可。 补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ①求的解集 ②求的解集 ③求的解集 ④求的解集 ⑤求的解集 解答：①②③④⑤，注意①②的区别 四、绝对值不等式 对于含有绝对值的不等式，解题思想为 ①直接脱去绝对值符号 ， ②构造函数，数形结合 ③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用） 例：图形法某经典问题，解不等式，先画出的图像如下，然后分类讨论的取值，通过观察和的图像，来确定不等式的解集情况。 ①当时，的图像在的图像上方，除了点，此时显然不等式无解 ②当时，的图像与的图像交点为，此时的解集为 ③当时，的图像与的图像交点横坐标为，此时解集为 ④当时，的图像与的图像交点横坐标为，此时解集为 当然此题使用也可以做，化成，只是在讨论的时候需要细心，考虑到的所有取值。 绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧 例如，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论 ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为，显