随机过程1-概率论复习.ppt

协方差的性质: 1 Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常数; 3 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y); 6 |Cov(X, Y)|2≤D(X)·D(Y); 5 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0. 4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a为常数; 由性质(6) |Cov(X, Y)|2≤D(X)·D(Y)可得. 独立与不相关都是随机变量之间相互联系程度的一种反映, 独立指的是X与Y没有任何关系，不相关指的X与Y之间没有线性相关关系． 事实上，若X与Y独立，则X与Y一定不相关； 但反过来，若X与Y不相关，则X与Y却未必独立． 公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY §4.4 矩、协方差矩阵 E(X)为一阶原点矩, D(X)为二阶中心矩, cov(X,Y) 为二阶混合中心矩. (1) 若E(Xk), k=1, 2, …存在, 则称为X的k阶原点矩. (2) 若E{[X-E(X)]k}, k=1, 2, …存在,则称它为X的 k阶中心矩. (3) 若E{[X-E(X)]k?[Y-E(Y)]l}, k, l=1, 2,…存在, 则 称它为X和Y的k+l阶混合中心矩. 一、矩 二维随机变量(X1,X2) 的二阶中心矩分别记为 将它们排成矩阵形式 称这个矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵。 二、协方差矩阵 协方差阵的性质：对称性、正定性等。 第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 §5.1 大数定律 一. 问题的提出: 1.当n足够大时, 频率 是否收敛到相应的概率p，即 贝努利大数定律: 设nA是n次独立重复试验中A发生的次数, p是 事件A在每次试验中发生的概率, 则 贝努利大数定律说明, 事件A发生的频率nA/n依 概率收敛到事件A发生的概率p. 切比雪夫大数定律: 设X1, X2, …, Xn, …, 是相互独立随机变量序列, 特殊情况 设X1, X2, …, Xn, … 相互独立, 且同分布 辛钦大数定律: 设X1, X2, …, Xn, …独立同分布,且具期望 注：辛钦大数定律对方差不做要求。 §5.2 中心极限定理 一. 问题提出: 对于独立随机变量序列X1, X2, …, Xn, …,假定EXi, DXi存在, 令 一. 独立同分布的中心极限定理: 设 Xk(k=1, 2, … )相互独立, 服从同一分布且 某课程选课的学生数是一个泊松随机变量，其期望值为100，任课教师决定如果选课人数超过120人时，他将采取分班授课的形式，否则就在一个班上课，该教授采用分班授课的概率是多大？ 此概率的精确解 但没法给出这个概率是多大 均值为100的随机变量可以看成，100个均值为1的独立同分布的泊松随机变量之和，进而利用中性极限定理求解 二. 德莫佛--拉普拉斯定理: 例2 有800台电话分机，独立使用，每台话机约 有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外 线才能90%以上的保证各分机用外线不必等候。 解：设X为需用外线的台数，X~B(800,0.05). 即求最小的N,使得 §4. 相互独立的随机变量 若两个事件A, B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A, B相互独立. 定义: 例 (X,Y)由联合分布 证明X与Y独立。 定理: 如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则 X,Y相互独立的充要条件是:对任意的一对 值(xi,yj)有 定理 如果(X,Y)是二维连续型随机变量,则 X,Y相互独立的充要条件是:在 f(x,y)的连 续点(x,y)处，有 命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相 互独立的充要条件是 ?=0. 第四章 随机变量的数字特征 §4.1. 随机变量的数学期望 §4.2 随机变量的方差 §4.3. 协方差和相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵 §1. 随机变量的数学期望 下面计算一些离散型分布的期望值。 1) (0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 0p1 X的数学期望为 EX=1·p+0·(1-p)=p 连续型随机变量的数学期望 下面计算常用连续型变量的数学期望： 则 它恰是区间[a,b]的中点。 随机变量函数的数学期望公式: 均值的性质: (1) E(c)=c; (c为常数) (2) E(cX)=cE(X);( c为常数) (3) E(X+Y)=E(X)+E