第四章 回归分析.pptVIP

试验数据处理与试验设计方法 第四章 回归分析 第一节 一元线性回归分析 一、一元线性回归方程的拟合 例4-1　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量了最大积雪深度（x）与当年灌溉面积（y），得到连续10年的数据于表4-1中。 为了研究这些数据中所蕴含的规律性，我们以各年最大积雪深度作横坐标，对应的灌溉面积作纵坐标作图，得图4-1。 仅有一个回归变量X的模型叫做一元线性回归模型。而求解回归系数的方法通常就是最小二乘法。 一元线性回归方程可表示为y=α+βx+ε 式中α，β称为回归系数，x为自变量，y为因变量，ε表示随机误差并符合正态分布N（0,σ2）。α，β，σ2通常是未知的。 计算公式如下： 利用这些公式对例4-1一元线性回归方程进行计算，可得方程为：y =2.511+1.802x 二、一元线性回归方程的统计检验 1. 相关系数检验 相关系数用于描绘变量x和y的线性相关程度，并常用γ来表示。γ的值介于[-1，1]之间，它的意义由可由图4-2可以知道。γ的绝对值越接近于1表示x和y之间的线性关系越密切。 γ的计算公式为 对例4-1 ，Lyy=764.861 2.方差分析与F检验 2.方差分析与F检验 对例4-1可以算得：SR =1.802×415.606=748.922； Se =764.961-748.922=16.039； F =8×748.922/16.039=373.55 2.方差分析与F检验 3.残差分析 （1）σ值估计 一、多元线性回归方程的建立 多元线性回归方程 方差分析表的形式就如表 4-4 所示。 2. 相关系数检验法 3.主效因子的判定 （1）偏回归系数的标准化 一、一元非线性回归分析 对于一元非线性问题，在许多情况下，通过适当的线性变换，可将其转化为一元线性问题。 （1）如果y随着x的增加而增加（或减少），最初增加（或减少）很快，以后逐步放慢并趋于稳定，则可以选择双曲线函数来拟合。 （2）对数函数的特点是，随着x的增大，x的单位变动对因变量y的影响效果不断递减。 （3）指数函数的特别是，随着x的增大（或减少），因变量y逐渐趋向某一值。 （4）S 形曲线函数（见表 4-7）具有以下特点：y是x的非减函数，开始时随着x的增加，y的增长速度也逐渐加快，但当y达到一定水平时，其增长速度又开始放缓，最后，无论x如何增加，y只会无限趋近于某一值。 表 4-7 线性变换表 二、一元多项式回归 任何复杂的一元连续函数都可以用高阶多项式近似表达。对于那些较难直线化的一元函数，可用下式拟合： 三、多元非线性回归 如果试验指标y与多个试验因素xj（j=1，2，…，m）之间存在非线性关系，例如，y与m个因素x1，x2…，xm的二次回归模型为： * * 第一节 一元线性回归分析 第二节 多元线性回归分析 第三节 非线性回归分析 表4-1 试验数据 图 4-1 数据散点图 图 4-2 两个变量之间的各种可能关系 由计算结果可知，γ=0.9894，很接近于1，故最大积雪深度与灌溉面积有很密切的线性正相关关系。 当FF1，n-2（α），表示两个变量显著相关，方程可信。这里F1，n-2（α）为F表中的临界值，MSR和MSe为均方，1为回归平方和的自由度， n-2为残差平方和的自由度，α为显著性水平。 当α=0.01时F1，8（0.01）=1.26。用F值和F表上的临界值相比，若F F1，n-2（α），表明y的变化主要是由x的变化造成的，称x与y有显著的线性关系；若F值小于F1，n-2（α），称x与y没有显著的线性关系，显著的程度也可以分成不同等级，在本书中，α=0.05时显著用“ * ”表示，α=0.01时显著用“ ** ”表示，差异不显著时用“ns”表示或不标记。上述计算结果常列成方差分析表，如表4-2所示。 表4-2 方差分析表 （2）数据和模型之诊断 第二节 多元线性回归分析 二、多元线性回归方程的统计检验 1. F 检验法 表4-4 多元线性回归方差分析表 计算得到的F值将与临界值Fm，n-m-1（?）来比较。 0≤R≤1，当R=1时，表明y与变量x1，x2，…，xm之间存在严格的线性关系；当R≈0，则表明y与变量x1，x2，…，xm之间不存在任何线性相关关系，但可能存在其他的非线性相关关系；当0R1时，变量之间存在一定的线性相关关系。 （2）偏回归系数的F检验