第二章 极限与连续.pptVIP

一、数列： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的 数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3，… ，xn ，… 这一列有次序的数就叫做数列，记为{xn}，其中第n 项xn 叫做数 列的一般项． 数列举例： 数列举例： 数列的几何意义： 二、数列的极限 对无限接近的刻划： “当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大 时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够 大， |xn-a |就能有多小． 极限的精确定义： 定义 如果数列{xn}与常a 有下列关系：对于任意给定的 正数e(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n N 时的 一切xn，不等式 |xn-a |e 都成立，则称常数a 是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛 于a ，记为 数列极限的几何意义： 对于任意给定的正数e，总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切xn，不等式 |xn-a |e 都成立．从几何上说，就是任意 给定a的e邻域(a- e , a+e)，总存在正整数N ，使得当n N 时， 所有的点xn都落在区间(a- e , a+e)内，而只有有限(至多只有 N个)在区间(a- e , a+e)以外. 四、收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限． 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界． 定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a ． 举例： 左右极限： 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 若当x ??时，f (x)无限接近于某常数A， 水平渐近线： 直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线． 定理1 的证明： 定理 1 的推广： 求极限举例： 一、准则 I 一、准则 I 二、准则 II 一、第一个重要极限 二、第二个重要极限 三、求极限小结 如果函数f (x)当x ?x0(或x ??)时的极限为零，那么函数 f (x)叫做x ?x0(或x ??)时的无穷小． 二、 无穷大 无穷小与无穷大的关系： 一、无穷小的阶 一、无穷小的阶 举例： 二、关于等价无穷小的定理 举例： 一、函数连续性的概念 函数y=f(x)在点x0处连续?函数y=f(x)在点x0处左连续且右连 续． 二、函数的间断点 1、连续函数的和、积及商的连续性 2、反函数与复合函数的连续性 举例 : 一、最大值和最小值定理 二、介值定理 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点. 在闭区间[0，2] 考察函数 y x 2 1 1 2 O 函数 y=f(x)在开区间[0，2] 内既无最大值又无最小值． 注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间 断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值． 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值． 证明 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．由定理1，函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M 和最小值m ，使任一x ?[a，b]满足 m?f(x)?M． 上式表明，f(x)在[a，b]上有上界M和下界m ，因此函数f(x)在 [a，b]上有界． 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间 上有界。 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值． 零点： 如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点． a b O x y x1 x2 x x3 y=f(x) f(a) f(b) 因为当x ?0时 所以当x ?0时，有 因为当x ?0时tan x ~ x ， 所以当x ?0时，有 tan x = tan x +o(x)． 例1 因为当x ?0时sin x ~ x ， 所以当x ?0时，有 sin x =x+o(x)． 定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可 用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选取得适 当，则可使计算简化． 解 当x ?0时，tan 2