巧用定义解决圆锥曲线中的最值问题.doc

巧用定义解决圆锥曲线中的最值问题 一、定义法 例1.已知A（2，2）， F(4，0)是椭圆内的两定点，点M是椭圆上的动点。 （1）求的最小值； （2）求的最值。 分析：本题涉及椭圆的焦点、椭圆上的点，这些都是椭圆定义特征，所以结合定义及平面几何知识解决。 解：根据题意F(4，0)是椭圆的右焦点 椭圆的离心率为 (1)如图（1），根据椭圆第二定义 右准线为 （即已知右焦点时，过椭圆内的点A作右准线的垂线，垂线段的长是所求的最小值） （2）根据椭圆的第一定义 设F1(-4,0) 则 ①当时， ②当时， 即当M0在AF1的延长线上时取得最大值为 当M0在的F1A延长线上时取得最小值为（如图（2）） 点评：涉及到圆锥曲线的焦点、准线、离心率以及其上的点的最值问题，联系定义（第一定义、第二定义）和平面几何知识，数形结合较为简单方便，实质是抓住了定义特征，将问题转化为平面几何中三点共线时取得最值问题。 1.AB为抛物线上的动弦，且，求弦AB的中点M到轴的最近距离。 解法一——代数法：设，直线AB的方程为，弦AB的中点M到轴的距离为 则有 根据韦达定理 当且仅当 即时“=”成立。 易验证：当时，直线AB过抛物线的焦点。 解法二——几何法（定义法）设F是抛物线的焦点，由知 当且仅当A、F、B三点共线时“=”成立，即时最小 。 两种方法比较，显然第二种方法简捷； 结合有圆锥曲线的定义猜想：若动直线与圆锥曲线相交弦定长（不小于通径），则相交弦中点到对称轴距离最小时直线过曲线的焦点。 例(200? 高考) 定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上，则弦AB的中点的横坐标的最小值是（ D ） A. B. C. D. M A F N x y O 图（1） H M A F x y O 图（2） F1 M0 M0