圆的切线方程及直线与圆的几点补充.docVIP

求圆的切线方程的几种解法 例题 求经过点且与圆相切的切线方程并作图。 解1：利用勾股定理 设所求切线与已知圆相切于点，因为圆的方程为，所以圆心O的坐标为，连接，则，所以由勾股定理，得，即，所以又因为点在圆上，所以（2），联立（1）（2）得 代入切线方程中，即得所求圆的切线方程为和。 解2：利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系。 设所求直线与圆相切于，则。因为，所以 ， 所以切线的方程为。因为过点，所以代入上式得 （1）而 （2） 以下同解2。 解3：利用点到直线的距离公式 设过点且与圆相切的切线的斜率为k，则所求切线方程为，即。因为圆心O的坐标为，半径，所以由点到直线的距离公式，得 ，解得。 所以切线方程，即，再结合图形知另一条切线方程为。 解4：利用斜率为k的圆的切线方程 因为圆的方程为，所以，故根据圆的切线方程， 得。 （1） 因为点在切线上，所以。 解得，将k值代入（1）即得所求切线的方程为，再结合图形知另一条切线方程为。 解5：利用切线与圆只有一个公共点的性质 设所求圆的切线方程为 代入中，整理得。 （2） 因为直线和圆相切，它们只有一个公共点，所以方程（2）有两相等实数根，所以，即，所以 （3） 又因为切线过点，所以由（1）得 （4） 解（3）、（4），得代入（1）得，再结合图形知另一条切线方程为。 最后必须引起注意的是，本题中的一条切线是和y轴平行的。由于一切平行于y轴的直线的斜率都是不存在的，因而解3、解4、解5开始只求出一条切线方程，而另一条平行于y轴的切线就遗漏了。遇到这种情形时，必须结合图形找到另一解，切不可疏忽大意。 关于直线与圆的几点补充 精要1 线性规划 一般用图解法来解决此类问题，该方法直观、有效、易懂，具体的步骤： ①根据各不等式来求出它们的交集，即为可行域； ②作出目标函数的等值线，即目标函数的一系列平行线； ③利用条件求出最优解，当需要整数解时，应适当调整确定最优解. 示例：已知求的最大值和最小值. 答案：. 精要2 圆的方程 （1）标准形式一般形式 . （2）圆的参数方程.利用参数方程解决问题非常灵活. 示例：若实数满足，求的最大值. 答案：. 精要3 圆的性质 （1），圆半径为，若. （2）直线与圆的位置关系 若已知直线，圆心到的距离 ，由直线与圆的方程联立消元得到的方程的判别式为；则 （3）圆与圆的位置关系 设两圆圆心距为，半径分别为.则 . 示例：已知圆， 圆，为何值时，圆与圆外切；圆与圆内含. 答案：圆与圆外切；当，圆与圆内含. （4）切线 圆. 过圆外一点作圆切线有两条，利用圆心到直线距离等于半径长可求得.若圆的切线斜率为，则切线方程为. 示例：若直线相切，求的值. 答案：. 【问题1】直线的方程与平行、垂直条件 例.自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程 解:由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），则与圆C’相切， 设: y-3=k(x+3), ， 整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或， 所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)， 即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 【问题2】圆的方程 例.一个圆和已知圆外切,并与直线:相切于点M（）,求该圆的方程 已知圆方程化为: ,其圆心P（1,0）,半径为1 设所求圆的圆心为C（a,b）, 则半径为, 因为两圆外切, ,从而1+ (1) 又所求圆与直线：相切于M(),直线,于是, 即 （2） 将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0, a=0或a=4 当a=0时,,所求圆方程为 当a=4时,b=0,所求圆方程为 练习：1.若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即(1，解得k((0，) 2．已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由 解:设直线L的斜率为１，且L的方程为y=x+b,则　消元得方程２x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1＋x2＝－（b+1）,y1+y2= x1＋x2+2b=b-1,则ＡＢ中点为，又弦长为＝，由题意可列式＝解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程