§5.1 逆向思维又一例——原函数与不定积分.pptVIP

第五章 微分的逆运算问题 ——不定积分 §5.1 逆向思维又一例 ——原函数与不定积分 1.1 原函数与不定积分的概念 原函数的概念 一、原函数的定义 问题: 二、不定积分的定义 三、 不定积分的几何意义 1.2 基本积分公式 基本积分表 1.3 不定积分的线性运算法则 内容小结 思考与练习 2. 若 3. 若 * 引入：在为微分学中，已知运动方程s=s(t), 则在时刻t的瞬时速度 v=s′(t) 在运动学中，也有相反的问题，即已知时刻t的瞬时速度: v=v(t) 而要求运动方程: s=s(t), 即已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数. 定义: 设函数F(x)与f(x)在区间I上有定 义. 若在I上F ?(x)=f(x) ,则称函数F(x)为 f(x)在区间I上的一个原函数. 例如: (sinx)?=cosx ?sinx是cosx的原函数 ?lnx是 在区间(0,+?)内的原函数 (1). 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? (2). 若原函数存在, 它如何表示 ? 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数F(x). 原函数存在定理: (1)原函数是否唯一? 例如: (sinx)?=cosx (sinx+C)?=cosx (C为任意常数) (2)若不唯一,它们之间有什么联系? 问题: 设F(x)是f(x)的区间I上的一个原函数,则: (1)F(x)+C也是f(x)的一个原函数,其中C为任意常数. (2)f(x)的任意两个原函数之间,相差一个常数. 定理: [证(2)] [F(x)?G(x)]?=F ?(x)?G ?(x) =f(x)?f(x) =0 ?F(x)?G(x)=C (C为任意常数) 这一定理揭示了全体原函数的结构 f(x)在区间I上的全体原函数为f(x) 在I上的不定积分,记作 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 积分常数 有: 例1 求 解: 例2. 求 解 当x0时,由于 所以 是 在 内的一个原函数.因此，在 内， 当 x0 时，由于 所以 是 在 内的一个原函数.因此 在 内， 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的 积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族. 它可由f(x)的某一条积 分曲线 y=F(x)沿y轴方 向上下平移而得到 o x y 曲线中每一条积分曲 线横坐标相同点处的 切线相互平行. 例3. 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点 处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程. 解: 设所求曲线为y=f(x) 由题意知, y?=2x 即f(x)是2x的一个原函数 =x2+C ?f(x)=x2+C 曲线通过点(1, 2) ?C=1 所求曲线为y=x2+1 F ?(x)=f(x) 例如: x? ( ? ? ?1) ( ? ? ?1) ( x ? 0) (a 0, a ? 1) = ?arccosx+C ? = ?arccotx+C ? 注意： 1、要把基本积分公式和基本初等函数求导公式相结合来记忆； 2、对基本积分公式要熟记，这是求积分的最基本工具； 3、注意区分基本积分公式被积函数中的变量和积分变量； 4、不要混淆求积分和求微分。 例4. 求积分 解: 根据积分公式 =f(x)?g(x) 可推广到有限多个函数的代数和的情形 (k是常数, k?0) 由不定积分的线性运算法则和基本 积分公式求函数的不定积分的方法称为 直接积分法 例5. 求积分 解: =3arctanx ?2arcsinx +C 例6. 求积分 解: =arctanx+ln|x|+C 原式= 例7. 求积分 解: 原式= 例8. 求积分 解: 原式= 例9. 解 例10. 已知一曲线 y=f(x)在点(x, f(x))处的 切线斜率为sec2x+sinx,且此曲线与y轴的 交点为(0, 5),求此曲线的方程. 解: y?=sec2x+sinx =tanx?cosx+C 又 f(0)=5 ?C=6 所求曲线方程为 y=tanx?cosx+6 1. 不定积分的概念 ? 原函数与不定积分的定义 ? 不定积分的性质 ? 基本积分公式 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 1. 若 提示: