什么是正交，相关，消元变换先说到底什么是正交这是一个令人头疼 .PDF

什么是正交，相关，消元变换 先说到底什么是正交？这是一个令人头疼的事情。x,y 平面上恒纵坐标夹角90 度，我们称这两个轴 正交其实这个回答和身上没有毛的，两个腿走路的，我们称这是人是同一类解释，根本就没有正面 回答，如何对正交下定义。 事情是这样的，对于2 维平面上面的一个点，我们用坐标表示一个点，也就是一个向量，向量的数 组形式是(x,y)，复数形式是(x+yi)(这个表示是唯一的。3 维空间的情况类似，(x,y,z)和x+iy+jz)。x+yi 在x 轴的投影是x，和y 无关；在y 轴的投影是x，与x 无关。所以x/y 轴构成互相无关的一组投影矢量， 我们就说x 轴和y 轴正交。正交投影向量组成一个正交矩阵[x 轴;y 轴]，分号代表换行。但是如果我们在 x/y 平面再画一跟轴出来，例如x,y 轴之间夹角45 度的一条线z，那么点(x,y)如果写成(x,y,z)的形式就 不止一种了。(1,1)可以表示为(0.5,0.5,0.5*根号2 分之一)，或者(0.3,0.3,0.7*根号2 分之一)，这样 的投影结果不止一种，所以[x 轴,y 轴,z 轴]这个投影矩阵对于2 维平面是有冗余的，应该去掉其中之一使 得这个投影的形式唯一确定。 好了，综上所述，正交的定义是：一组基础向量 a1,a2,...an，它们之间的关系是，某个向量v 在 各个 ax 上面的投影分解，表达式唯一。或者表述为，a1-an 当中的任意向量，在其他向量上面的投影都 是0。我们称a1-an 之间的关系为互相正交。然后，这n 个互相正交的向量，共同构成了一个n 维的空间。 在这个空间里面，任何其他的向量都可以分解成n 个正交投影的矢量和。特别的，N 维空间可以用n 个正 交向量表示，这种n 个正交向量本身，可以有无数种形式，只要他们之间保持正交就可以了。x/y 平面的 正交向量集合可以是[x 轴,y 轴]，也可以是x/y 轴绕着原点，分别旋转一个角度以后的两个轴(当然保持 90 夹角不变)。 消元有什么物理意义吗，做个具体的分析。一个2x2 的矩阵A，是一个方程组Ax=b 的系数矩阵。 那么这2 个方程表示了2 维平面上的两条直线。那么我应用消元法：方程组(x+y=2,x+2y=3)第2 个行 向量减去第一个行向量，得到新的方程组(x+y=2,y=1)，这个方程组和原方程组通解，不同的是x+2y=3 绕着交点(方程的解)旋转到了 y=1。所以，求解方程组的过程，就是寻找同解方程的过程。消元法是合 法合理的求解方程组的过程。那么求行列式的过程呢，消元是否影响最后结果？只需证明一个通用变量的 情况就可以了，其他的递推就行。 说了物理意义以及思想来源。没有凭空创造出来的数学概念，高数所以高等，是因为能解决一些经 典数学很难解决的问题，并且用一种一致和优雅的办法对多种不同的问题都有效果。 再说说线性代数里面的一些纯粹数学上的特性。 - 行列式是若干个乘积的加和，那么每个分式都有一个符号，由(x 坐标的逆序+y 坐标的逆序)决定。 如果这个加和是偶数，那么分式取正号，否则取负号。例如 2345n1 的逆序是多少呢? 无论那种方法 重排达到正序的过程，中间次数都是相差 2x，所以不影响符号。这里我们考虑把最后的1用冒泡的方式 上升到第一位，所以逆序=n-1。 - 一个数 m 乘以一个方阵，相当于方阵的每个元素e 都成了 m*e。那么行列式分式的每一项都乘以 了m^n，所以|m*A|=m^n|A|。例题：设A 是m*m，B 是n*n，C 是个分块矩阵，C=[0,A;B,0]， 那么C 的行列式是多少? 考虑逆序的情况，A 的m 个列，每个列经过n 次移位以后，C=[A,0;0,B]，移 位次数=m*n，所以|C|=(-1)^(m*n)|C|=(-1)^(m*n)*|A|*|B|。 - 如果矩阵的某一行乘以 m，那么|A|=m*|A|。例题：3 阶矩阵 A 和 B，A=[a,2x,3y] ， B=[b,x,y],|A|=18,|B|=2 ， 求 |A-B|=? 解 ： |A-B|=|[a-b,x,2y]|=2*|[a-b,x,y]|=2*|[a,x,y]|-2*|[|b,x,y]|=(1/3)*|a,2x,3y|-2|B|=2 - 上面用到了一个很重要的行列式对于向量分解的特性，|[a-b,xxxx]|=|a,xxxx|-|b,xxxx|。 |A|-|B|=|[a1-b1,a2-b2...an-bn]|这个可以通过代数余子式的特性证明。再