数值分析.南京电大 36讲 szfx19.doc

2. 截断误差 , , , 我们把称为在点的中心差。用中心差代替导数可以得到量级的截断误差,其它用三个点的数值微分公式也都可以得到量级的截断误差。 3. 二阶导数(三个点)的数值微分公式 过三点的二次拉格朗日插值多项式为: 故而, 所以,这个数值微分公式的余项为: , 其截断误差为的量级,而运用拉格朗日插值公式只能得出的量级,得不出。 例:已知在四个点的值: 求的近似值。 解:,则 , 精确值。 (1). 用前差计算,, 误差为; (2). 用后差计算,, 误差为; (3). 用中心差计算,, 误差为; (4). 用前差三点公式计算,, , 误差为; 由此可以看出一阶导数的微分近似公式中, 中心差的效果最好。 例2:已知函数,求的数值微分。 解:,精确值。 (1).取， 用中心差计算： 误差为； 用三点前差公式计算： , 误差为。 (2).取， 用中心差计算： 误差为, 可以看出,随着的减少,中心差的误差也相应减少。 (3).如用前差计算,取， 误差为, 其误差比用中心差的误差大得多。 四、用Taylor公式来推导数值微分公式及其截断误差。 1. 一阶导数的中心差公式 这里,; 将在处Taylor展开至三阶导数项: 即,, 其中,,; 两式相减,得: , 两边除以,且移项,得: , 其中,。 2. 二阶导数的三点数值微分公式及其截断误差 将,在处Taylor展开 至四阶导数项： 其中,,,两式相加,再减去得: ， 两边除以,且移项,得: 其中,。 3. 一阶导数的三点向前微分公式及其截断误差的推导 将在处Taylor展开 至三阶导数项： , , 其中,,,则 ， 其中； 希望截断误差中的次数尽可能高,因此要求满足: 解得:;于是,我们得到: 两边除以就得到一阶导数的三点向前微分公式: 稍作整理,得到这个公式的截断误差 其中,。 第十二章 复习与小结 一、数值积分公式的代数精确度 一个在区间[a,b]上数值积分公式对于任意一个次数不高于次的多项式都精确成立,而存在一个次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为。 (1).阶Newton—Cotes公式:当为奇数时,其代数精确度为;当为偶数时,其代数精确度为+1。 (2).高斯型求积公式:个求积节点的求积公式的代数精确度为。 例:求,使下面的求积公式的代数精确度尽可能高。 解: (1).取,, 左边,右边 两边相等,求积公式精确成立; (2).取,, 左边,右边， 两边相等，求积公式精确成立； (3).取,, 左边,右边 要求两边相等:,解得:。 (4).继续验证: 取,, 左边,右边, 两边相等,求积公式精确成立; (5).取,, 左边,右边, 两边不相等，求积公式不精确成立; 综合(1)(2)(3)(4)(5),得到求积公式: 其代数精确度为3; 其误差为: 。