数值分析.南京电大 36讲 szfx22.doc

第十二章作业更正 练习12.3(A)第2题: 将改为; 改为 习题12,第8题: “”改为“” “不超过5次”改为“不超过3次” 第二题: 改为 加上:“求其代数精确度” §2.迭代法 设方程在区间上有唯一的实根,将方程变形为与其同解方程: 要求函数在区间上满足: 则可以在区间上任取一点作为迭代法的初始值,建立迭代关系(递推关系式): , 从而得到一个数列,如果当时,这个数列收敛到,即,则, 则满足方程,由于方程和是同解方程,所以满足方程。在实际计算中,取足够大,则有,我们把作为原方程的近似解。 计算流程: 选取初值 对 做 如果,跳出循环 否则,置,继续循环 输出 例1:用迭代法求方程的根,精确到0.001。 解:设,,,在区间内有根。 将方程变形为,这儿, ,在内,所以迭代是收敛的。 取,则 ， ,迭代结束。 。 几何意义: 取作y轴平行线,交于,作x轴下平行线交于,即;再作y轴平行线交于,再作y轴的平行线交于 ,即;再作y轴的平行线交于,…,一直下去。越来越接近于,就是与的交点的x坐标,即。 .收敛定理: 定理1:在迭代方程中设满足: (1)当时,;(即在内有界。) (2)存在正数,使得对任意,有,则 (1)方程在内有唯一解,且(2)对任意初值,迭代格式得到的数列,收敛到方程的解,且满足误差估计。 证明: (1)存在性: 因,, 由连续函数的性质,存在, 使。 唯一性:设,均是方程的根则 , 又,,只有,。 (2)迭代的收敛性: 因, 反复用此式 ,即， 迭代收敛。 误差估计: ，而 同理 从而得: 要使,只要,两边取对数 ,即 x y x1 x2 x0 x3 x* p1 p2 p3 p0 x y y x